最後更新：2026-07-01

一維彈性碰撞

彈性碰撞是指動量與動能都守恆的碰撞。沒有任何能量以熱、聲音或變形的形式損失，因此兩物體分開時帶著與碰撞前完全相同的動能。撞球這類硬球、氣體分子，以及相互碰撞的次原子粒子，都接近完全彈性。本計算器接受同一直線上兩物體的質量與初速度，回傳兩個碰撞後速度，並一併顯示碰撞前後的動量與動能，以便直接檢查守恆定律。

由於一切都發生在同一條軸上，速度以帶正負號的數值表示：選定一個方向為正，朝相反方向運動的物體便取負值。

兩條守恆定律

一維彈性碰撞由兩個方程式支配。動量守恆：

$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$$

以及動能守恆：

$$\tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2$$

將這一對方程式對未知的碰撞後速度 $v_1$、$v_2$ 求解，便得到計算器所用的封閉形式：

$$v_1 = \frac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2}, \qquad v_2 = \frac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2}$$

同樣的代數還推出一個有用的事實：在彈性碰撞中，接近的相對速度等於分離的相對速度，$u_1 - u_2 = -(v_1 - v_2)$。兩物體分離的速度與接近的速度一樣快。

值得知道的特殊情形

情形	結果
質量相等（$m_1 = m_2$）	兩物體互換速度：$v_1 = u_2$、$v_2 = u_1$。
輕物撞向重牆（$m_2 \gg m_1$、$u_2 = 0$）	輕物以幾乎相同的速度反彈：$v_1 \approx -u_1$。
重物撞向輕物（$m_1 \gg m_2$、$u_2 = 0$）	重物幾乎不減速；輕物以約 $2u_1$ 的速度彈出。

質量相等的情形正是牛頓擺與乾淨正面撞球的原理：母球停下，被撞的球以母球原本的速度前進。

範例計算

模型適用的場合

實際碰撞很少是完全彈性的——幾乎總有部分動能以熱或聲音逸散。當這種損失可忽略時，彈性方程式才是正確的工具：鋼製滾珠軸承、裝有磁性或彈簧緩衝的近乎無摩擦氣墊軌道滑翔器，以及原子尺度的散射。若物體黏在一起或明顯變形，碰撞便屬非彈性，動能不守恆，這些公式就不再成立。本頁所示的碰撞前後動量在任何孤立碰撞中皆相等；而動能這一對保持相等，正是辨別彈性碰撞的標誌。

常見問題（FAQ）

什麼是彈性碰撞？

彈性碰撞是指總動量與總動能都守恆的碰撞。沒有能量以熱、聲音或永久變形的形式損失，因此物體分開時帶著與碰撞前相同的動能。撞球這類硬球之間，以及原子或次原子粒子之間的碰撞，都接近完全彈性。日常的碰撞大多是部分非彈性的，但彈性碰撞是乾淨的極限模型。

一維彈性碰撞中，碰撞後速度的公式是什麼？

對質量為 m₁、m₂、初速度為 u₁、u₂ 的兩物體，碰撞後速度為 v₁ = ((m₁ − m₂)u₁ + 2m₂u₂)/(m₁ + m₂)、v₂ = ((m₂ − m₁)u₂ + 2m₁u₁)/(m₁ + m₂)。這是由動量方程 m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ 與動能方程 ½m₁u₁² + ½m₂u₂² = ½m₁v₁² + ½m₂v₂² 聯立求解得到。速度帶有正負號，請保持正方向一致。

兩個相等質量發生彈性碰撞會怎樣？

當 m₁ = m₂ 時，公式簡化為 v₁ = u₂、v₂ = u₁：兩物體互換速度。一顆運動的球撞上一顆相同且靜止的球，前者完全停下，後者以前者原本的速度移動——這正是牛頓擺與正面撞球時熟悉的結果。

彈性碰撞與非彈性碰撞有何不同？

兩者都守恆動量，但只有彈性碰撞同時守恆動能。在非彈性碰撞中，部分動能轉化為熱或變形；在完全非彈性碰撞中，物體黏在一起並作為一體運動。本計算器假設完全彈性碰撞，因此所顯示的碰撞前後動能應始終一致。