最後更新：2026-07-01

什麼是臨界角

臨界角是指光線由折射率較大的介質進入折射率較小的介質時，恰好沿著兩者界面折射的入射角。若再加大入射角，光線便無法穿出，會全部反射回原來的介質。這種現象稱為全反射，而臨界角就是全反射開始的門檻。

公式從何而來

折射遵循司乃耳定律，將光線在界面兩側所成的角與兩種介質的折射率聯繫起來：

$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2.$$

其中 $n_1$ 是光線出發介質的折射率，$n_2$ 是光線進入介質的折射率。當入射角 $\theta_1$ 增大時，折射光線會更偏離法線。可能的最大折射角為 $\theta_2 = 90°$，此時折射光線沿著表面前進。代入 $\theta_2 = 90°$ 與 $\sin 90° = 1$，即定義出臨界角 $\theta_c$：

$$n_1 \sin\theta_c = n_2,$$

整理後得到

$$\theta_c = \arcsin\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right).$$

要使這個結果為實數角度，比值 $n_2/n_1$ 必須不大於 1，因此這個公式只在 $n_1 > n_2$ 時才有意義，也就是光線由折射率較大的介質進入折射率較小的介質時。

量	符號	角色
折射率，較密介質	$n_1$	輸入
折射率，較疏介質	$n_2$	輸入
臨界角	$\theta_c$	$\arcsin(n_2/n_1)$

計算範例

一束光在皇冠玻璃塊（$n_1 = 1.50$）內部，朝向與空氣（$n_2 = 1.00$）的界面前進。

$$\begin{aligned} \theta_c &= \arcsin\!\left(\frac{1.00}{1.50}\right) \\ &= \arcsin(0.667) \\ &\approx 41.8°. \end{aligned}$$

玻璃內任何以大於法線 41.8° 的角度射向表面的光線都無法穿出，會發生全反射。恰好 41.8° 的光線會沿表面掠過，小於 41.8° 的光線則折射進入空氣。

一些常見界面

由 → 至	$n_1$	$n_2$	臨界角
水 → 空氣	1.33	1.00	約 48.8°
皇冠玻璃 → 空氣	1.50	1.00	約 41.8°
鑽石 → 空氣	2.42	1.00	約 24.4°

較密介質的折射率越高，臨界角越小，光線也越容易被困在內部。

應用

光纖。 光纖的纖芯是折射率略高於外圍纖殼的玻璃。在受光角內射入的光線會以超過臨界角的角度打在纖芯與纖殼界面而發生全反射，幾乎無損耗地在光纖中以鋸齒狀路徑行進數公里。這正是現代通訊與內視鏡的骨幹。

鑽石與寶石。 鑽石約 2.42 的極高折射率，使臨界角接近 24°。射入切割良好的寶石的光線，會在內部多次反射後才從頂面射出，造就寶石備受珍視的璀璨與火彩。切割師會刻意選擇刻面角度，使光線在內部反射而非從背面漏出。

稜鏡。 雙筒望遠鏡、潛望鏡與單眼相機中的直角稜鏡，以全反射取代鍍銀鏡面。由於反射是完全的，既沒有亮度損失，也沒有會氧化變色的鍍層。

折射計。 用來量測液體折射率的儀器——例如檢測食品的糖度或溶液濃度——直接觀測臨界角，因為臨界角取決於未知的折射率。

模型的限制

$\theta_c = \arcsin(n_2/n_1)$ 這個關係式，假設兩種透明且不吸收光的介質之間有一道清晰平整的界面，且光為單一波長。由於折射率會隨波長略有變化，臨界角也會因顏色不同而稍有差異。金屬等吸收性材料具有複數折射率，這個簡單公式並不適用。真實表面從來不是完美平滑，因此即使超過名義上的臨界角，仍可能有少量光線因散射而漏出。

常見問題（FAQ）

臨界角的公式是什麼？

臨界角為 θ_c = arcsin(n₂/n₁)，其中 n₁ 是較密介質的折射率，n₂ 是較疏介質的折射率。由於在臨界角時折射光沿表面以 90° 前進，因此可由司乃耳定律 n₁ sin θ_c = n₂ sin 90° 導出。玻璃（n₁ = 1.5）至空氣（n₂ = 1.0）時，結果為 arcsin(1/1.5) ≈ 41.8°。

什麼是全反射？

當光線由折射率較大的介質進入折射率較小的介質，並以大於臨界角的角度入射界面時，光線完全不折射，全部反射回原來的介質。這就是全反射。在臨界角以下，部分光線折射出去、部分反射；超過臨界角後，界面的行為就像一面完美的鏡子。

臨界角在哪些地方很重要？

光纖仰賴全反射：中心纖芯的折射率高於外圍的纖殼，因此在受光角內進入的光線會在纖芯與纖殼界面不斷全反射，幾乎無損耗地沿光纖傳遞。切割鑽石的璀璨來自其約 2.42 的高折射率，使臨界角小至約 24.4°，將光線困在寶石內反覆反射。雙筒望遠鏡與單眼相機的稜鏡，以及用來測量濃度的折射計，也都利用這項效應。

為什麼 n₁ 必須大於 n₂？

臨界角僅在光線由折射率較大的介質進入折射率較小的介質時（n₁ > n₂）存在。此時比值 n₂/n₁ 小於 1，因此 arcsin(n₂/n₁) 會傳回實數角度。當 n₁ ≤ n₂ 時比值為 1 或更大，反正弦沒有實數值，進入第二種介質的光線一定折射而非全反射。