最後更新：2026-07-01

連續方程式

連續方程式是流動流體質量守恆的陳述。在最常見的形式中，對於通過管路或渠道的穩態、不可壓縮流動，它指出每秒通過各截面的流體體積在整個流動中處處相同。這一個原理便解釋了為何捏住花園水管的末端時水會噴得更快，以及河流通過狹窄峽谷時為何流速加快。

方程式

對於管路兩截面之間的穩態、不可壓縮流動，體積流量為定值：

$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q$

其中 $A$ 為截面積，$v$ 為該截面上的平均流速，$Q$ 為體積流量。對下游流速求解，即得本計算器所採用的形式：

$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2}$

流量則單純為

$Q = A_1 v_1$

由於流體既無法堆積也無法消失，截面積越小，流速就按比例越大。

符號表

物理量	符號	說明
截面 1 的面積	$A_1$	上游截面
截面 1 的流速	$v_1$	上游平均流速
截面 2 的面積	$A_2$	下游截面
截面 2 的流速	$v_2$	結果，下游平均流速
體積流量	$Q$	結果，沿管路為定值

範例

面積與流速為何此消彼長

由於流量 $Q = A v$ 固定，面積與流速沿管路成反比。將面積減半，流速加倍；擴大為四倍，流速降為四分之一。對於圓管，就管徑而言此關聯更為強烈：由於面積與管徑平方成正比（$A = \pi d^2/4$），管徑減半會使面積變為四分之一，從而使流速變為四倍，由此得到捷徑 $v_2 = v_1 (d_1/d_2)^2$。

從連續方程式到白努利方程式

連續方程式僅由幾何形狀給出各截面的流速，卻對壓力隻字不提。此時白努利方程式便接手：一旦連續方程式定下流速變化，白努利方程式就將其與壓力變化連結。在縮口處，連續方程式迫使流體加速，白努利方程式隨即預測該處靜壓下降。此組合正是文氏效應以及文氏管、孔板流量計（由所測壓降推算流量）的運作基礎。

可壓縮流動

簡單形式 $A_1 v_1 = A_2 v_2$ 僅在密度固定時成立。對於流速快到密度明顯變化的氣體（大致在馬赫 0.3 以上），守恆的量是質量流量而非體積流量：

$\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2$

在此範圍內，面積與流速的關係甚至可能反轉，這正是超音速噴嘴為加速流動而擴張、而非收縮的原因。不過，對於本計算器所針對的日常液體與低速氣體，不可壓縮形式仍是極佳的近似。

常見問題（FAQ）

什麼是連續方程式？

連續方程式表達流動流體的質量守恆。對於管路中穩態、不可壓縮的流動，單位時間通過各截面的體積為定值，因此 A₁v₁ = A₂v₂，其中 A 為截面積、v 為平均流速，乘積 A·v 即為體積流量 Q。管路變窄時流體加速，變寬時則減速。

連續方程式有哪些假設？

簡單形式 A₁v₁ = A₂v₂ 假設流動為穩態（不隨時間變化）且不可壓縮（密度固定），兩截面之間沒有流體加入或移除。所用流速為各截面的平均值。對於可壓縮流動（例如高速氣體），守恆的是質量流量 ρAv，須納入密度變化：ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂。

如何用管徑來使用連續方程式？

對於圓管，先以 A = πd²/4 將各管徑換算為面積，再套用 A₁v₁ = A₂v₂。由於面積與管徑平方成正比，管徑減半會使面積變為四分之一，在相同流量下流速變為四倍。因此直接用管徑計算時，v₂ = v₁ (d₁/d₂)² 是方便的捷徑。

連續方程式與白努利方程式有什麼關係？

兩者相輔相成。連續方程式僅由幾何形狀決定各截面的流速（A₁v₁ = A₂v₂）；白努利方程式再將該流速變化與壓力變化連結。當連續條件迫使流體在縮口處加速時，白努利方程式預測該處靜壓下降。兩者共同解釋了文氏效應與流量計的運作原理。