最後更新：2026-07-01

恢復係數所衡量的內容

恢復係數 $e$ 以單一數值概括一次碰撞有多「彈」。它比較兩物體碰撞後分離的速率與碰撞前接近的速率：

$e = \frac{\text{relative speed of separation}}{\text{relative speed of approach}}$

由於它是兩個速率的比值，$e$ 是無因次量。對一般碰撞而言，其值介於 0 與 1 之間：

• $e = 1$ — 完全彈性碰撞。物體分離的速率與接近時相同，沒有任何動能損失。
• $e = 0$ — 完全非彈性碰撞。物體完全不分離，一起前進，並在動量守恆所容許的範圍內損失最多的動能。

真實碰撞落在這兩個極端之間。本計算器以兩種方式求 $e$：由落下與彈起試驗，或直接由碰撞前後的速度。

由彈起高度求得

量測球的 $e$ 最簡單的方法，是讓它落到堅硬固定的地面上，觀察反彈的高度。地面幾乎不動，因此相對速率就是球在接觸瞬間自身的速率。

從高度 $h_d$ 落下的物體以速率 $\sqrt{2 g h_d}$ 抵達地面，而要彈到高度 $h_b$ 則需要離開時的速率 $\sqrt{2 g h_b}$。兩者之比即為恢復係數：

$e = \frac{\sqrt{2 g h_b}}{\sqrt{2 g h_d}} = \sqrt{\frac{h_b}{h_d}}$

重力加速度互相約去，只剩高度之比。彈起高度永遠不會超過落下高度，因此 $e$ 維持在 1 以下。

由速度求得

對兩物體的一般碰撞，使用沿碰撞線的速度。設接近速度為 $u_1$、$u_2$，分離速度為 $v_1'$、$v_2'$：

$e = \frac{\left|v_2' - v_1'\right|}{\left|u_1 - u_2\right|}$

速度帶有正負號。選定一方向為正，並在四個數值上都遵守此規則，因此正面相向接近的兩物體符號相反。絕對值符號使結果只取決於接近速率與分離速率的大小。

範例：彈跳的球

將球從 $h_d = 1\ \text{m}$ 落下，彈起到 $h_b = 0.6\ \text{m}$。

$e = \sqrt{\frac{0.6}{1}} = \sqrt{0.6} \approx 0.775$

$e$ 約為 0.775 表示，由於能量與速率的平方成正比，且 $e^2 = 0.6$，每彈一次約有 60% 的動能保留下來。第二次彈起後，球約可達 $0.6 \times 0.6 = 0.36\ \text{m}$，而彈起高度每次都以相同的 0.6 倍縮小。

範例：正面碰撞

物體 1 以 $u_1 = 5\ \text{m/s}$ 向右移動，朝靜止的物體 2（$u_2 = 0$）撞去。碰撞後物體 1 以 $v_1' = -1\ \text{m/s}$ 反彈，物體 2 以 $v_2' = 2\ \text{m/s}$ 移動。

$e = \frac{\left|2 - (-1)\right|}{\left|5 - 0\right|} = \frac{3}{5} = 0.6$

接近速率為 5 m/s，分離速率為 3 m/s，因此這次碰撞返還了接近速率的 60%。

典型數值

物體與表面	約略的 $e$
彈力球對混凝土	0.90
籃球對球場	0.75 – 0.85
網球對硬地球場	0.70 – 0.75
高爾夫球對桿面	0.78
棒球對球棒	約 0.50
黏土塊對地面	約 0

運動主管機構常為正式器材規定允許的彈起高度範圍，這其實就是把恢復係數固定在狹小的範圍內。溫度、表面剛度與撞擊速率都會使 $e$ 改變，因此彈跳試驗會在標準化條件下進行。

與碰撞計算器的關係

恢復係數把完全彈性與完全非彈性兩種模型銜接起來。結合動量守恆，已知的 $e$ 便能預測一維碰撞的兩個末速度：動量方程式定出兩者之和，恢復方程式定出兩者之差。介於兩個理想極端之間的碰撞問題，實際上就是這樣求解的。

常見問題（FAQ）

什麼是恢復係數？

恢復係數以 e 表示，衡量兩個物體碰撞後保留多少相對速率。它是分離的相對速率除以接近的相對速率。值為 1 表示沒有動能損失的完全彈性碰撞，值為 0 表示物體黏在一起前進的完全非彈性碰撞。真實的碰撞多半介於兩者之間。

如何由彈起高度求 e？

將物體從已知高度落到堅硬固定的地面，並記錄反彈高度。由於彈起前後的速率與高度的平方根成正比，恢復係數為 e = √(h_b / h_d)。一顆從 1 m 落下、反彈到 0.6 m 的球，其 e = √0.6 ≈ 0.775。

e 的範圍是多少？

一般碰撞中 e 介於 0 與 1 之間。e = 0 時物體完全不分離，是動能損失最大的完全非彈性碰撞。e = 1 時分離速率等於接近速率，動能守恆，為理想的彈性碰撞。大於 1 的值表示碰撞增加了動能，只有在爆炸等外部能量來源存在時才會發生。

各種運動球的 e 值大約多少？

在標準表面上的彈跳試驗中，籃球約為 0.75 至 0.85，網球約為 0.7 至 0.75，高爾夫球在桿面上約為 0.78，棒球對球棒則接近 0.5。各運動主管機構常規定允許的彈起高度範圍，藉此固定恢復係數，使不同廠商的器材性能一致。