最後更新：2026-07-13

霍爾電壓

霍爾電壓是當載流導體置於與電流垂直的磁場中時，橫向出現的電位差。磁場使移動中電荷載子的路徑彎曲，將它們推向試片的一側，直到累積於該處的電荷建立起足以抵消偏移的電場為止。此時試片兩側之間的電壓即為霍爾電壓，本計算器由電流、磁通密度、載子濃度與試片厚度，透過 $V_H = I B / (n q t)$ 求得。

公式的由來

電荷為 $q$ 的載子以漂移速度 $v_d$ 在磁場 $B$ 中運動時，會受到將其橫向推擠的勞侖茲力 $F = q\, v_d\, B$。電荷在試片一側累積並建立橫向電場 $E$，當電力抵消磁力時達到平衡：

$$q E = q\, v_d\, B \quad\Rightarrow\quad E = v_d\, B$$

霍爾電壓即為此電場乘以試片寬度 $w$，也就是 $V_H = E\, w = v_d\, B\, w$。漂移速度由電流決定，$I = n q\, v_d\, (w t)$，其中 $w t$ 為截面積，故 $v_d = I / (n q\, w t)$。代入後可得：

$$V_H = \frac{I}{n q\, w t}\, B\, w = \frac{I B}{n q t}$$

寬度相互抵消，使霍爾電壓僅由電流、磁場、載子濃度、電荷與厚度決定。

公式

物理量	符號	意義
霍爾電壓	$V_H$	$V_H = \dfrac{I B}{n q t}$
電流	$I$	沿試片流動的電流
磁場	$B$	與電流垂直的磁通密度
載子濃度	$n$	每立方公尺的可移動載子數
每個載子的電荷	$q$	電子為 $1.602\times10^{-19}\ \text{C}$
厚度	$t$	沿磁場方向的試片厚度

$R_H = 1/(n q)$ 稱為霍爾係數，因此此關係常寫作 $V_H = R_H\, I B / t$。其正負號取決於主要載子的正負。

計算範例

考慮一條輕摻雜半導體，通有電流 $I = 1\ \text{A}$，處於磁場 $B = 0.5\ \text{T}$ 中，載子濃度 $n = 1\times10^{25}\ \text{m}^{-3}$，厚度 $t = 0.1\ \text{mm} = 1\times10^{-4}\ \text{m}$。每個載子帶有基本電荷 $q = 1.602\times10^{-19}\ \text{C}$：

$$\begin{aligned} V_H &= \frac{I B}{n q t} \\ &= \frac{(1)(0.5)}{\left(1\times10^{25}\right)\left(1.602\times10^{-19}\right)\left(1\times10^{-4}\right)} \\ &\approx 3.12\times10^{-3}\ \text{V} \end{aligned}$$

約為 3.1 mV，是可以輕鬆量測的訊號，這正是此類元件被用作磁場感測器的原因。

金屬與半導體

若對銅這類金屬（$n = 8.5\times10^{28}\ \text{m}^{-3}$）套用相同數字，霍爾電壓便驟降至約 $3.7\times10^{-7}\ \text{V}$，不足一微伏。差異完全來自分母中的載子濃度：金屬所含的自由電子比輕摻雜半導體多出數萬倍，因此每個電子分擔的電流較少，橫向的電荷累積也弱得多。這正是實用的霍爾感測器與霍爾探棒以半導體製成的原因——其載子濃度夠低，足以產生穩健的輸出。

判讀載子的正負

霍爾電壓的極性所含的資訊不只是大小。由於帶負電的電子與帶正電的電洞會被偏向試片的相反兩側，霍爾電壓的正負便顯示電流是由電子還是電洞所主導。量測它是區分 n 型與 p 型半導體的標準方法之一；而將公式改寫為 $n = I B / (q t\, V_H)$，便能把一次霍爾電壓量測直接轉換成載子濃度的測定。

適用限制

此公式假設只有單一主導的載子類型且濃度均勻、磁場恰好垂直於電流，並且試片夠薄以使磁場均勻穿透。在電子與電洞貢獻相當的材料中，兩者會部分抵消，此簡單式便不再成立。在強磁場或低溫下，霍爾響應也可能偏離古典結果。然而，對於處於中等磁場中、界定明確的單載子試片而言，$V_H = I B / (n q t)$ 仍是精確且廣泛使用的關係式。

常見問題（FAQ）

什麼是霍爾電壓？

霍爾電壓是當載流導體置於與電流垂直的磁場中時，橫向出現的電位差。磁場透過勞侖茲力將移動的電荷載子推向試片的一側，累積於該處的電荷便在寬度方向建立起電場。

當此電場恰好抵消磁場造成的偏移時達到平衡，此時兩側之間的電壓即為霍爾電壓，V_H = I·B /(n·q·t)。

V_H = I·B /(n·q·t) 各項代表什麼？

I 是沿試片流動的電流，B 是與其垂直施加的磁通密度。n 是載子濃度，即每立方公尺可移動載子的數目；q 是每個載子的電荷，對電子而言為基本電荷 1.602 × 10⁻¹⁹ C。t 是沿磁場方向量測的試片厚度。霍爾電壓隨 I 與 B 增大，隨 n 或 t 增大而減小。

霍爾電壓能顯示電荷載子的正負嗎？

可以。霍爾電壓的極性取決於電流是由帶負電的電子還是帶正電的電洞所傳導，因為兩者會被偏向試片的相反兩側。因此量測哪一側變為正極，即可得知主要載子的正負。

這是霍爾效應的主要用途之一：它能區分 n 型與 p 型半導體，並結合量測到的電壓求出載子濃度。

為何半導體的霍爾電壓遠大於金屬？

霍爾電壓與載子濃度 n 成反比。金屬的載子濃度極高——每立方公尺約有 10²⁸ 個自由電子——因此其霍爾電壓非常微小，常遠低於一微伏。半導體的載子少得多，有時少上百萬倍，於是相同的電流與磁場便能產生毫伏等級的霍爾電壓。這正是實用的霍爾感測器以半導體而非金屬製成的原因。