Fakultät berechnen – n!

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-22

Definition

Die Fakultät einer nicht-negativen ganzen Zahl $n$, geschrieben $n!$, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis $n$:

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$

Ausgewählte Werte:

n	n!
0	1 (per Definition)
1	1
5	120
10	3.628.800
20	2.432.902.008.176.640.000

Begründung von 0! = 1

$0! = 1$ folgt aus der Rekursionsformel $n! = n \times (n-1)!$: Für $n = 1$ ergibt sich $1! = 1 \times 0!$, also muss $0! = 1$ gelten. Anschaulich gibt es genau eine Möglichkeit, null Objekte anzuordnen — nämlich gar nichts zu tun. Diese Konvention sorgt dafür, dass die Formeln für Permutationen und Kombinationen auch an den Grenzen korrekt funktionieren.

Wachstumsverhalten

Fakultäten wachsen schneller als jede Exponentialfunktion. Bei $n = 13$ überschreitet der Wert bereits 6 Milliarden ($13! = 6\,227\,020\,800$). Bei $n = 20$ hat das Ergebnis 19 Stellen. Der Rechner ist daher auf 20 beschränkt, da darüber hinaus 64-Bit-Ganzzahlen nicht mehr ausreichen.

Die Stirlingsche Näherungsformel liefert für große $n$ eine gute Schätzung:

$$n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$

Anwendungsgebiete

Anordnungen zählen. Die Anzahl der Möglichkeiten, $n$ verschiedene Objekte in einer Reihe anzuordnen, beträgt genau $n!$. Fünf Bücher lassen sich auf $5! = 120$ verschiedene Weisen ins Regal stellen.

Permutationen und Kombinationen. Beide Formeln basieren auf Fakultäten:

$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \qquad C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Fakultäten erscheinen in der Binomialverteilung, der Poisson-Verteilung und überall dort, wo diskrete Wahrscheinlichkeiten über geordnete Ergebnisse berechnet werden.

Analysis. Taylor-Reihen verwenden Fakultäten im Nenner, um das Wachstum der Folgenglieder zu kontrollieren. Die Exponentialreihe lautet $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$.

Hinweise zur Nutzung

Genaue Ganzzahlen. Für $n \leq 20$ liefert der Rechner exakte Ganzzahlergebnisse ohne Rundungsfehler.

Permutationen oder Kombinationen gesucht? Der Permutationsrechner — P(n, r) berechnet $P(n, r)$ direkt, der Kombinationsrechner — C(n, r) $C(n, r)$ — ohne dass die Fakultäten einzeln berechnet werden müssen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Fakultät?

Die Fakultät einer nicht-negativen ganzen Zahl n, geschrieben n!, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Beispiel: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Per Konvention gilt 0! = 1. Fakultäten wachsen extrem schnell — 20! überschreitet bereits 2,4 × 10¹⁸.

Warum gilt 0! = 1?

0! = 1 folgt aus der Rekursionsformel n! = n × (n−1)!: Für n = 1 erhält man 1! = 1 × 0!, also muss 0! = 1 gelten. Anschaulich gibt es genau eine Möglichkeit, null Objekte anzuordnen — nämlich gar nichts zu tun. Diese Konvention sorgt dafür, dass die Permutations- und Kombinationsformeln auch an den Grenzen korrekt sind.

Wo kommen Fakultäten vor?

Fakultäten tauchen in der Kombinatorik (Permutationen und Kombinationen), der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Binomialkoeffizienten), der Analysis (Taylorreihen wie eˣ = Σ xⁿ/n!) und der Zahlentheorie auf. Immer wenn die Anzahl der geordneten Anordnungen von n verschiedenen Objekten gefragt ist, steckt eine Fakultät dahinter.