Permutationsrechner — P(n, r)

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-22

Definition

Eine Permutation $P(n, r)$ gibt an, auf wie viele Arten man $r$ Elemente aus einer Menge von $n$ verschiedenen Elementen auswählen und in einer bestimmten Reihenfolge anordnen kann. Da die Reihenfolge zählt, ist {A, B} ein anderes Ergebnis als {B, A}.

P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)

Rechenbeispiel

Wie viele dreistellige Codes lassen sich aus den Buchstaben {A, B, C, D, E} bilden, wenn sich kein Buchstabe wiederholt?

P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60

Anschaulich: 5 Möglichkeiten für die erste Stelle, 4 für die zweite (ein Buchstabe ist vergeben), 3 für die dritte — ergibt $5 \times 4 \times 3 = 60$ .

Abgrenzung zur Kombination

Die entscheidende Frage lautet: Spielt die Reihenfolge eine Rolle?

Szenario	Formel	Begründung
Gold, Silber, Bronze unter 10 Athleten	$P(10, 3)$	Welche Medaille entscheidet die Rangfolge
3-köpfiger Ausschuss aus 10 Personen	$C(10, 3)$	Nur die Zusammensetzung zählt
4-stellige PIN ohne Wiederholung	$P(10, 4)$	Die Ziffernfolge bestimmt den PIN
4 Lottozahlen aus 1–49	$C(49, 4)$	Nur welche Zahlen, nicht die Reihenfolge

Für gleiche $n$ und $r$ gilt: $P(n, r) = C(n, r) \times r!$ . Permutationen sind daher immer mindestens so groß wie Kombinationen. Für $C(n, r)$ direkt nutzen Sie die Kombinationsrechner — C(n, r).

Sonderfälle

$r = 0$: $P(n, 0) = 1$ für beliebiges $n$ . Es gibt genau eine Möglichkeit, null Elemente anzuordnen.
$r = n$ : $P(n, n) = n!$ — alle Elemente werden angeordnet.
$r > n$ : Nicht definiert; der Rechner gibt eine Fehlermeldung aus.

Typische Anwendungen

Sitzordnungen: $n$ Personen auf $r$ Stühle verteilen
Ranglisten: erste, zweite, dritte Platzierung aus einem Feld vergeben
Passwörter und PINs: Zeichenfolgen ohne Wiederholung
Ablaufplanung: Aufgaben in einer bestimmten Reihenfolge planen

Hinweise

Große Ergebnisse. $P(20, 10)$ überschreitet 670 Milliarden. Selbst innerhalb der $n \leq 20$ -Grenze können die Ergebnisse sehr groß werden. Dieser Rechner liefert genaue Ganzzahlwerte.

Mit Wiederholung. Die Formel oben gilt für die Auswahl ohne Wiederholung. Bei Wiederholung (z. B. eine PIN, in der Ziffern mehrfach vorkommen dürfen) beträgt die Anzahl $n^r$ .

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Permutation?

Eine Permutation P(n, r) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, r Elemente aus einer Menge von n verschiedenen Elementen auszuwählen und in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen. Da die Reihenfolge zählt, ist {A, B} ein anderes Ergebnis als {B, A}. Die Formel lautet P(n, r) = n! / (n − r)!.

Was ist der Unterschied zwischen Permutation und Kombination?

Permutationen verwenden Sie, wenn die Reihenfolge wichtig ist: Sitzordnungen, Rangfolgen, PIN-Codes. Kombinationen verwenden Sie, wenn nur die Auswahl zählt, nicht die Anordnung: Ausschusswahl, Lotterie. Für gleiche n und r gilt: P(n, r) = C(n, r) × r!, Permutationen sind daher immer mindestens so groß wie Kombinationen.

Wie berechnet man P(n, r)?

P(n, r) = n! / (n − r)! = n × (n−1) × … × (n−r+1) — ein absteigendes Produkt aus r Faktoren ab n. Beispiel: P(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60. Für r = 0 gilt P(n, 0) = 1, für r = n gilt P(n, n) = n!.

Permutationsrechner — P(n, r)

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