Resolver ecuación con valor absoluto (|ax + b| = c)

Última actualización: 2026-05-19

¿Qué es una ecuación con valor absoluto?

Una ecuación con valor absoluto de la forma $|ax + b| = c$ pregunta para qué valores de $x$ la expresión lineal $ax + b$ se encuentra exactamente a una distancia $c$ del origen en la recta numérica. Esta calculadora resuelve los tres casos posibles: dos soluciones, una solución y ninguna solución real.

Método de resolución

La clave está en que $|expresión| = c$ significa que la expresión vale $c$ o bien $-c$, ya que ambos números equidistan del cero. Esto transforma una ecuación con valor absoluto en dos ecuaciones lineales ordinarias:

$$ax + b = c \quad \text{y} \quad ax + b = -c$$

Despejando $x$ en cada una (con $a \neq 0$):

$$x_1 = \frac{c - b}{a} \qquad x_2 = \frac{-c - b}{a}$$

Los tres casos

Caso 1: c > 0 — dos soluciones

Cuando $c$ es positivo, las dos ecuaciones anteriores producen valores de $x$ distintos. Ambos satisfacen la ecuación original.

Ejemplo resuelto: Resolver $|2x - 3| = 7$.

Identificar: $a = 2$, $b = -3$, $c = 7$.

$$x_1 = \frac{7 - (-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-7 - (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Comprobación: $|2(5) - 3| = |7| = 7$ ✓ y $|2(-2) - 3| = |-7| = 7$ ✓

Caso 2: c = 0 — una solución

Cuando $c = 0$, las dos ecuaciones se reducen a una sola: $ax + b = 0$. Ambas fórmulas dan el mismo resultado:

$$x_1 = x_2 = \frac{-b}{a}$$

Ejemplo: $|2x - 4| = 0 \Rightarrow x = 4/2 = 2$.

Caso 3: c < 0 — sin solución real

El valor absoluto siempre es no negativo: $|ax + b| \geq 0$ para todo $x$ real. Si $c$ es negativo, se está pidiendo que una cantidad no negativa sea igual a un número negativo — lo que es imposible. La ecuación no tiene solución real.

Ejemplo: $|2x - 3| = -5$ no tiene solución.

Interpretación geométrica

En la recta numérica, $|u|$ representa la distancia desde el punto $u$ hasta el origen. Si se toma $u = ax + b$:

$$|ax + b| = c$$

la pregunta es: «¿para qué valores de $x$ sale el resultado de la función lineal $ax + b$ exactamente a $c$ unidades del cero?» Como la distancia es simétrica, hay dos posiciones ($+c$ y $-c$), lo que da como máximo dos valores de $x$.

Esta imagen geométrica también explica por qué $c < 0$ no tiene solución: la distancia nunca es negativa, así que no existe ningún punto de llegada.

Restricción a ≠ 0

Si $a = 0$, la ecuación se convierte en $|b| = c$, que ya no involucra a $x$. La calculadora trata $a = 0$ como entrada no válida y muestra un aviso, porque la ecuación deja de ser una ecuación con valor absoluto en $x$ y se convierte en una simple afirmación aritmética.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Por qué una ecuación con valor absoluto puede tener dos soluciones?

|ax + b| = c significa que la expresión dentro de las barras vale c o bien −c, ya que ambos valores tienen el mismo valor absoluto. Esto divide la ecuación en dos ecuaciones lineales — ax + b = c y ax + b = −c — y cada una produce su propio valor de x. Cuando c > 0, ambas ecuaciones dan soluciones distintas; cuando c = 0, las dos se reducen a la misma ecuación y hay una única solución.

¿Qué ocurre cuando c es negativo?

El valor absoluto siempre es mayor o igual que cero, así que |ax + b| nunca puede ser igual a un número negativo. Cuando c < 0, la ecuación |ax + b| = c no tiene solución real — no existe ningún valor de x que haga igual a un número no negativo a algo negativo.

¿Qué representa |x| geométricamente?

En la recta numérica, |x| es la distancia desde x hasta el origen. De forma más general, |ax + b| es la distancia desde el punto ax + b hasta el cero. Resolver |ax + b| = c equivale a preguntarse: «¿para qué valores de x queda la expresión ax + b exactamente a una distancia c del origen?» La respuesta son los puntos c y −c, lo que da como mucho dos valores de x.

¿En qué se diferencia de una inecuación con valor absoluto?

Una ecuación con valor absoluto (|ax + b| = c) busca los valores exactos de x donde la expresión iguala a c — y produce un conjunto finito de soluciones. Una inecuación con valor absoluto (|ax + b| < c o |ax + b| > c) busca un rango: todos los valores de x donde la expresión es menor o mayor que c. La inecuación da un intervalo de soluciones en lugar de puntos aislados.