Última actualización: 2026-05-20

Completar el cuadrado

Completar el cuadrado es el método algebraico que transforma $ax^2 + bx + c$ en la forma canónica $a(x - h)^2 + k$, donde $(h, k)$ es el vértice de la parábola. Esta calculadora realiza la transformación automáticamente y muestra el desarrollo paso a paso.

El método para completar el cuadrado

Partiendo de $ax^2 + bx + c$:

Paso 1 — Calcular h (abscisa del vértice):

$$h = -\frac{b}{2a}$$

Paso 2 — Calcular k (ordenada del vértice):

$$k = c - \frac{b^2}{4a}$$

Paso 3 — Escribir en forma canónica:

$$ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k$$

Por qué funciona este método

Se factoriza $a$ en los dos primeros términos y se suma el término que completa el cuadrado:

$$a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{b^2}{4a} + c$$

El término $\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}$ se suma dentro del paréntesis (lo que equivale a sumar $a \cdot \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a}$ a toda la expresión) y se resta inmediatamente fuera, dejando la expresión igual a la original. Sustituyendo $h = -\frac{b}{2a}$ y $k = c - \frac{b^2}{4a}$ se obtiene $a(x - h)^2 + k$.

Ejemplo resuelto

Escribir $x^2 - 6x + 11$ en forma canónica.

Aquí $a = 1$, $b = -6$, $c = 11$.

$$h = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$$ $$k = 11 - \frac{(-6)^2}{4 \cdot 1} = 11 - 9 = 2$$ $$x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$$

Verificación: expandiendo $(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 6x + 9 + 2 = x^2 - 6x + 11$ ✓

El vértice es $(3,, 2)$, el eje de simetría es $x = 3$ y el valor mínimo de la expresión es $2$.

Qué información aporta el vértice

Propiedad	Valor
Vértice	$(h,\, k)$
Eje de simetría	$x = h$
Mínimo (si $a > 0$)	$y = k$ en $x = h$
Máximo (si $a < 0$)	$y = k$ en $x = h$

Cuando $a > 0$, la parábola abre hacia arriba (forma ∪) y el vértice es el punto más bajo. Cuando $a < 0$, abre hacia abajo (forma ∩) y el vértice es el punto más alto. El valor absoluto $|a|$ controla la apertura: mayor $|a|$ produce una parábola más estrecha; menor $|a|$ produce una más abierta.

Deducción de la fórmula general

Completar el cuadrado también permite deducir la fórmula general. Se parte de $ax^2 + bx + c = 0$, se pasa a forma canónica y se despeja $x$:

$$a(x - h)^2 + k = 0 \implies (x - h)^2 = -\frac{k}{a}$$ $$x - h = \pm\sqrt{-\frac{k}{a}}$$

Sustituyendo $h = -\frac{b}{2a}$ y $k = c - \frac{b^2}{4a}$ y simplificando:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Esta es la fórmula general — completar el cuadrado es la demostración de que dicha fórmula vale para cualquier expresión cuadrática.

Aplicaciones

• Encontrar el vértice sin necesidad de representar gráficamente.
• Resolver ecuaciones cuadráticas cuando la factorización directa es difícil.
• Demostrar la fórmula general desde los principios básicos.
• Analizar parábolas en física e ingeniería (movimiento de proyectiles, óptica, antenas parabólicas).
• Cálculo integral — identificar la forma canónica simplifica la integración de funciones racionales.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Para qué sirve completar el cuadrado?

Completar el cuadrado reescribe ax² + bx + c en la forma a(x − h)² + k, donde el vértice (h, k) queda visible de inmediato. Esto permite conocer el mínimo o el máximo de la parábola sin necesidad de derivar. Además, es la base de la demostración de la fórmula general y facilita la representación gráfica porque el eje de simetría (x = h) y el valor extremo (y = k) se leen directamente.

¿Cómo se relaciona completar el cuadrado con la fórmula general?

La fórmula general se obtiene aplicando este método a ax² + bx + c = 0. Dividiendo entre a se obtiene x² + (b/a)x + c/a = 0. Sumando y restando (b/(2a))² para formar un trinomio cuadrado perfecto, se llega a (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²). Extrayendo la raíz cuadrada y despejando x se obtiene x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a), que es precisamente la fórmula general.

¿Qué representa el vértice (h, k)?

El vértice es el punto extremo de la parábola. Cuando a > 0, la parábola abre hacia arriba y el vértice es el punto mínimo: el valor más pequeño que toma ax² + bx + c es k, alcanzado en x = h. Cuando a < 0, la parábola abre hacia abajo y (h, k) es el punto máximo. El eje de simetría es la recta vertical x = h — la parábola es simétrica respecto a esa recta.

¿Cómo afecta el signo de a a la parábola?

Cuando a > 0, la parábola abre hacia arriba (forma ∪) y tiene un mínimo en el vértice. Cuando a < 0, abre hacia abajo (forma ∩) y tiene un máximo en el vértice. El valor absoluto |a| controla la apertura: cuanto mayor es |a|, más estrecha es la parábola; cuanto menor es |a|, más abierta. Si a = 0, la expresión se reduce a una recta y completar el cuadrado no tiene sentido.