Generado el: 13 de junio de 2026, 18:01

Calculadora de Valor Esperado

Datos de entrada

Resultados10, -5, 20
Probabilidades0.5, 0.3, 0.2

Resultados

Suma de probabilidades1
Número de resultados3

Visualización

Probabilidad 0

Generado con OneCalc · https://onecalc.app/es/math/discrete-expected-value

Matemáticas

Calculadora de Valor Esperado

Calcula el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta con resultados y probabilidades por comas.

Datos de entrada

Resultados y probabilidades

Resultados

Detalles

Fórmulas

\begin{aligned} E[X] &= \sum_{i} p_i \cdot x_i \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \sum_{i} p_i \cdot (x_i - E[X])^2 \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma &= \sqrt{\sigma^2} \\ &= \sqrt{?} \\ &= ? \end{aligned}

Distribución de probabilidad

Probabilidad 0

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Definición

El valor esperado —también llamado esperanza matemática— de una variable aleatoria discreta es la media de todos sus posibles resultados, donde cada resultado se pondera por la probabilidad con que ocurre. Se denota E[X] o μ, y su fórmula es:

E[X]=∑ipi⋅xiE[X] = \sum_{i} p_i \cdot x_i

donde x₁, x₂, …, xₙ son los posibles valores de la variable y p₁, p₂, …, pₙ sus probabilidades correspondientes.

La interpretación práctica es la siguiente: si el experimento se repitiera un número muy grande de veces en condiciones idénticas e independientes, el promedio de los resultados observados convergiría al valor esperado. Esta propiedad, conocida como ley de los grandes números, es la base teórica de la disciplina.

Cálculo y ejemplo

Considérese un juego de azar con tres posibles resultados:

Resultado (€)Probabilidad
+100,50
−50,30
+200,20

El valor esperado se obtiene multiplicando cada resultado por su probabilidad y sumando:

E[X]=(10)(0,50)+(−5)(0,30)+(20)(0,20)=5,00−1,50+4,00=7,50 €E[X] = (10)(0{,}50) + (-5)(0{,}30) + (20)(0{,}20) = 5{,}00 - 1{,}50 + 4{,}00 = 7{,}50 \text{ €}

Aunque el resultado de un único ensayo puede ser cualquiera de los tres, el promedio a lo largo de muchas partidas converge a 7,50 € por jugada. Un casino que ofreciera este juego perdería dinero de forma sistemática.

Varianza y desviación estándar

El valor esperado informa sobre el centro de la distribución, pero no sobre su dispersión. Dos distribuciones pueden tener el mismo E[X] y perfiles de riesgo muy distintos.

La varianza (σ²) mide la dispersión cuadrática media en torno al valor esperado:

σ2=∑ipi⋅(xi−E[X])2\sigma^2 = \sum_{i} p_i \cdot (x_i - E[X])^2

Con los datos del ejemplo anterior:

σ2=0,50×(10−7,5)2+0,30×(−5−7,5)2+0,20×(20−7,5)2\sigma^2 = 0{,}50 \times (10 - 7{,}5)^2 + 0{,}30 \times (-5 - 7{,}5)^2 + 0{,}20 \times (20 - 7{,}5)^2 =0,50×6,25+0,30×156,25+0,20×156,25=3,125+46,875+31,250=81,25= 0{,}50 \times 6{,}25 + 0{,}30 \times 156{,}25 + 0{,}20 \times 156{,}25 = 3{,}125 + 46{,}875 + 31{,}250 = 81{,}25

La desviación estándar (σ = √81,25 ≈ 9,01 €) restaura las unidades originales y representa una desviación típica de un resultado individual respecto al valor esperado.

Valor esperado y varianza no cuentan la misma historia

Un bono que paga 100 € con certeza (E[X] = 100, σ = 0) y una lotería que paga 200 € con probabilidad 0,5 y 0 € en caso contrario (E[X] = 100, σ = 100) tienen expectativas idénticas pero perfiles de riesgo completamente distintos. La toma de decisiones racional bajo incertidumbre requiere considerar ambas magnitudes.

Juego justo

Un juego justo es aquel en que E[X] = 0: la ganancia esperada es nula. En un juego justo, ni el organizador ni el participante obtienen ventaja a largo plazo; el participante solo asume riesgo sin compensación media. La mayoría de los juegos de azar comerciales están diseñados con E[X] < 0 para el jugador, lo que garantiza un beneficio sistemático al operador.

Ley de los grandes números

La ley fuerte de los grandes números establece que, para variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con valor esperado finito, la media muestral converge casi con certeza a E[X] cuando el número de observaciones crece sin límite. Este resultado fundamenta la tarificación de seguros, los modelos de valoración financiera y cualquier planificación a largo plazo que dependa de promediar sobre muchos eventos.

La ley no afirma nada sobre un único ensayo ni sobre una secuencia corta. Un juego con E[X] = +5 € puede generar una racha de resultados negativos durante varias decenas de partidas. La desviación estándar cuantifica esta incertidumbre a corto plazo: en una distribución normal aproximada, alrededor del 68 % de los resultados individuales caen dentro de un σ del valor esperado, y cerca del 95 % dentro de dos σ.

Uso de la calculadora

Introduzca los resultados y sus probabilidades como valores separados por comas. La cantidad de resultados debe coincidir con la cantidad de probabilidades. Las probabilidades deben ser no negativas y sumar 1; la calculadora muestra un aviso si la suma se aleja de 1 en más de 0,001. Los resultados pueden ser cualquier número real, incluidos los negativos.

El gráfico de distribución de probabilidad representa cada resultado con una barra proporcional a su probabilidad, lo que permite apreciar visualmente dónde se concentra la masa de probabilidad.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es el valor esperado?

El valor esperado E[X] es la media ponderada por probabilidad de todos los resultados posibles de una variable aleatoria. Para un juego que paga 10 € con probabilidad 0,5 y pierde 5 € con probabilidad 0,5, E[X] = 10 × 0,5 + (−5) × 0,5 = 2,50 €. Tras muchas repeticiones, el resultado medio converge a ese valor. El valor esperado es la base del análisis de riesgos, la tarificación de seguros y la teoría de juegos.

¿Conviene aceptar toda oportunidad con valor esperado positivo?

Un valor esperado positivo es una condición necesaria pero no suficiente para tomar una decisión. La varianza también importa: una apuesta con E[X] = 1 € pero con un 10 % de probabilidad de perder el patrimonio completo puede ser inaceptable a pesar del valor esperado favorable. La teoría de la utilidad marginal decreciente explica por qué es racional rechazar ciertas apuestas de valor esperado positivo cuando el monto arriesgado es elevado en relación con los recursos disponibles. En la práctica, el valor esperado positivo es una señal sólida para actuar cuando las apuestas son pequeñas respecto al capital total y la oportunidad puede repetirse muchas veces.

¿Por qué el valor esperado no predice lo que ocurrirá a corto plazo?

El valor esperado describe el promedio a largo plazo en muchos ensayos independientes, no el resultado de un ensayo concreto. La ley de los grandes números garantiza que la media muestral converge a E[X] conforme aumenta el número de repeticiones; pero en pocos ensayos, los resultados reales pueden alejarse considerablemente de la expectativa. Una moneda que paga 10 € en cara y 0 € en cruz tiene E[X] = 5 € por lanzamiento, pero en 10 lanzamientos el total puede ser 30 € u 80 €. La desviación estándar σ cuantifica precisamente esa incertidumbre a corto plazo.

¿Qué ocurre si las probabilidades no suman 1?

Una distribución de probabilidad discreta válida exige que todas las probabilidades sean no negativas y sumen exactamente 1. Si la suma es inferior a 1, el modelo está incompleto: algún resultado o su probabilidad no se ha contemplado. Si supera 1, el modelo es inconsistente. En ambos casos, el cálculo aritmético del valor esperado sigue siendo posible, pero el resultado no representa el valor esperado de ninguna variable aleatoria bien definida. Esta calculadora muestra un aviso cuando la suma se aleja de 1 en más de 0,001.

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