Última actualización: 2026-05-13

Dos relaciones fundamentales entre enteros

Todo par de enteros positivos comparte dos números especiales: el mayor entero que divide exactamente a ambos (máximo común divisor, MCD) y el menor entero que es múltiplo de ambos (mínimo común múltiplo, MCM). Juntos describen cómo dos números están relacionados aritméticamente.

Por ejemplo, el par 12 y 8:

• Los divisores comunes de 12 y 8 son 1, 2 y 4. El mayor es 4.
• Los múltiplos comunes de 12 y 8 son 24, 48, 72, …. El menor es 24.

Cómo calcula el MCD el algoritmo de Euclides

El método más antiguo — y todavía el más rápido en la práctica — para encontrar el MCD es el algoritmo de Euclides, descrito en sus Elementos alrededor del año 300 a. C. La clave está en la siguiente propiedad:

$\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b)$

donde $a \bmod b$ es el resto de dividir $a$ entre $b$. El proceso se repite hasta que el resto es cero; el último valor distinto de cero es el MCD.

Ejemplo: MCD(48, 18)

Paso	$a$	$b$	$a \bmod b$
1	48	18	12
2	18	12	6
3	12	6	0

El último resto distinto de cero es 6, por lo que MCD(48, 18) = 6.

El algoritmo es notablemente eficiente: el número de pasos nunca supera cinco veces el número de dígitos del número más pequeño.

La identidad MCD–MCM

Una vez conocido el MCD, el MCM se obtiene con una sola fórmula:

$\text{MCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{MCD}(a, b)}$

Esto no es casualidad: se deduce del teorema fundamental de la aritmética. Si pensamos en cada número como producto de potencias de primos, el MCD toma el exponente mínimo de cada primo y el MCM el máximo. El producto de ambos siempre reconstruye $a \times b$.

Ejemplo: MCM(12, 8)

$\text{MCD}(12, 8) = 4, \quad \text{MCM}(12, 8) = \frac{12 \times 8}{4} = 24$

Comprobación: $4 \times 24 = 96 = 12 \times 8$. ✓

Por qué importan estos números

Simplificar fracciones

Para reducir $\dfrac{a}{b}$ a su mínima expresión, se dividen numerador y denominador por $\text{MCD}(a, b)$. Por ejemplo, $\dfrac{12}{8}$ se simplifica a $\dfrac{3}{2}$ porque $\text{MCD}(12, 8) = 4$.

Sumar fracciones

Para calcular $\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{8}$ se necesita el mínimo común denominador, que es $\text{MCM}(12, 8) = 24$:

$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{2}{24} + \frac{3}{24} = \frac{5}{24}$

Ciclos y periodos

Si dos eventos se repiten cada $a$ días y cada $b$ días respectivamente, vuelven a coincidir al cabo de $\text{MCM}(a, b)$ días. Por eso el MCM aparece en relaciones de engranajes, periodos de patrones de baldosas y problemas de calendario (¿cuándo vuelven a alinearse dos ciclos celestes?).

Criptografía

El algoritmo de Euclides es una operación fundamental en la criptografía RSA: el MCD se usa para verificar que el exponente de clave elegido es coprimo con la función de Euler del módulo.

Casos especiales

• MCD(a, 0) = a para cualquier entero positivo $a$: es el caso base del algoritmo de Euclides y se deduce directamente de la definición.
• Números coprimos: MCD = 1 y MCM = a × b. Por ejemplo, MCD(7, 13) = 1, MCM(7, 13) = 91.
• Números iguales: MCD(n, n) = n y MCM(n, n) = n.

Referencia rápida

Propiedad	Fórmula
Algoritmo de Euclides	$\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b)$
MCM a partir del MCD	$\text{MCM}(a,b) = \dfrac{a \times b}{\text{MCD}(a,b)}$
Identidad	$\text{MCD}(a,b) \times \text{MCM}(a,b) = a \times b$
Simplificar fracción	dividir numerador y denominador por el MCD
Denominador común	usar el MCM de los dos denominadores

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es el máximo común divisor?

El máximo común divisor (MCD) de dos enteros es el mayor entero positivo que divide a ambos sin dejar resto. Por ejemplo, MCD(12, 8) = 4, ya que 4 es el mayor número que divide exactamente tanto a 12 como a 8.

¿Qué es el mínimo común múltiplo?

El mínimo común múltiplo (MCM) de dos enteros es el menor entero positivo que es múltiplo de ambos. Por ejemplo, MCM(12, 8) = 24, ya que 24 es el menor número que es múltiplo a la vez de 12 y de 8.

¿Cuál es la relación entre el MCD y el MCM?

Para dos enteros positivos a y b cualesquiera se cumple que MCD(a, b) × MCM(a, b) = a × b. Esto permite obtener uno a partir del otro: MCM = a × b ÷ MCD. Esta propiedad es la razón por la que ambas medidas se calculan habitualmente de forma conjunta.