Última actualización: 2026-05-21

El triángulo: el polígono más simple de la geometría

Un triángulo es un polígono con tres lados y tres ángulos. Es la figura cerrada más simple en la geometría bidimensional, y su área es una de las medidas más fundamentales en matemáticas. Esta calculadora cubre cuatro métodos: base y altura, fórmula de Herón (tres lados), LAL (dos lados y el ángulo comprendido) y ALA (un lado y dos ángulos adyacentes).

Método base y altura

La fórmula más directa es:

$A = \frac{1}{2} \times b \times h$

donde $b$ es la longitud de cualquier lado elegido como base y $h$ es la altura perpendicular — la distancia medida en ángulo recto desde la base hasta el vértice opuesto.

Esta fórmula funciona para todo tipo de triángulo:

• Triángulos acutángulos: el pie de la altura cae dentro de la base.
• Triángulos rectángulos: un cateto es la base y el otro es la altura.
• Triángulos obtusángulos: el pie de la altura cae fuera de la base, pero la fórmula sigue siendo válida.

Origen del factor ½

Un triángulo equivale exactamente a la mitad de un paralelogramo con la misma base y la misma altura. Si duplicas el triángulo, lo giras 180° y lo unes por un lado, obtienes un paralelogramo de área $b \times h$. El triángulo tiene, por tanto, un área de $\frac{b \times h}{2}$.

Fórmula de Herón

Cuando solo se conocen las tres longitudes de los lados —sin altura ni ángulos— la fórmula de Herón da el área directamente:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Aquí $s$ es el semiperímetro (la mitad del perímetro). La fórmula se remonta a Herón de Alejandría (c. 60 d. C.).

Ejemplo resuelto: triángulo rectángulo 3-4-5

$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$

$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$

Comprobación con el método base-altura: los catetos 3 y 4 son perpendiculares, así que $A = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$. Ambos métodos coinciden.

LAL: dos lados y el ángulo comprendido

Cuando se conocen dos lados $p$ y $q$ y el ángulo $C$ entre ellos, el área es:

$A = \frac{1}{2} \, p \, q \, \sin C$

Esto se deduce de la fórmula base-altura: si $p$ es la base, la altura equivale a $q \sin C$ (la componente de $q$ perpendicular a $p$).

Ejemplo: $p = 5$, $q = 7$, $C = 60°$

$A = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \frac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15{,}16$

Cuando $C = 90°$, $\sin 90° = 1$ y la fórmula se reduce a la conocida área del triángulo rectángulo $\frac{1}{2} p q$.

ALA: un lado y dos ángulos

Cuando se conocen el lado $c$ y los ángulos $A$ y $B$ en sus extremos, el área es:

$A = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin(A + B)}$

Se obtiene aplicando la ley de los senos para expresar los otros dos lados en función de $c$ y sustituyendo en la fórmula LAL. El tercer ángulo es $C = 180° - A - B$.

Ejemplo: $c = 8$, $A = 50°$, $B = 60°$ (luego $C = 70°$)

$A = \frac{64 \times \sin 50° \times \sin 60°}{2 \times \sin 110°} \approx 22{,}6$

Desigualdad triangular

No cualquier conjunto de tres números positivos define un triángulo real. Tres longitudes $a$, $b$, $c$ forman un triángulo válido si y solo si:

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

Si alguna de estas condiciones no se cumple, no se puede construir ningún triángulo. En la fórmula de Herón, una violación hace que la expresión dentro de la raíz cuadrada sea negativa — señal inmediata de que la entrada es geométricamente imposible.

Aplicaciones en la vida real

Arquitectura y construcción. Las armaduras triangulares son el esqueleto de tejados, puentes y grúas, ya que el triángulo es el único polígono que resulta rígido bajo carga.

Topografía. Los topógrafos miden los tres lados de una parcela y aplican la fórmula de Herón para calcular su área sin necesidad de establecer perpendiculares.

Gráficos por computadora. Toda superficie 3D se aproxima mediante una malla de triángulos. La GPU calcula áreas triangulares para determinar iluminación, sombras y detección de colisiones.

Navegación. La triangulación utiliza tres puntos de referencia conocidos para localizar una posición desconocida.

Si el triángulo es rectángulo, Calculadora del Teorema de Pitágoras permite hallar el lado que falta antes de calcular el área. Para figuras relacionadas, consulta también Calculadora de Área y Circunferencia del Círculo y Calculadora de polígono regular.