Última actualización: 2026-07-01

Qué hace esta calculadora

Esta calculadora halla la inversa de una matriz 2×2. Introduce los cuatro elementos de A = [[a, b], [c, d]] y devuelve el determinante y los cuatro elementos de A⁻¹, junto con una deducción paso a paso. Cuando la matriz no tiene inversa, lo indica en lugar de mostrar números sin sentido.

La inversa de una matriz A se escribe $A^{-1}$ y se define mediante la relación $A A^{-1} = A^{-1} A = I$, donde $I$ es la matriz identidad.

La fórmula de la inversa 2×2

Para una matriz 2×2, la inversa se obtiene de la adjunta dividida entre el determinante:

Hay una forma fácil de recordar la parte matricial: intercambia los dos elementos de la diagonal principal ($a$ y $d$), cambia el signo de los dos de la diagonal secundaria ($b$ y $c$) y divide todo entre el determinante $ad - bc$.

El determinante va primero

El determinante $\det A = ad - bc$ decide si existe la inversa. Si es distinto de cero, la fórmula anterior da la única inversa. Si es cero, la matriz es singular y no tiene inversa: no existe ninguna matriz por la que multiplicar para obtener la identidad.

Ejemplo resuelto

Tomemos la matriz [[4, 3], [6, 3]].

Primero el determinante:

$\det A = (4)(3) - (3)(6) = 12 - 18 = -6$

Como el determinante no es cero, la inversa existe. Aplica la fórmula:

Comprobar el resultado

Una buena costumbre es multiplicar la matriz original por la inversa y confirmar que se obtiene la identidad:

El producto es la matriz identidad, lo que confirma que la inversa es correcta. Las pequeñas diferencias en el último decimal provienen solo de redondear los elementos mostrados.

Cuando la inversa no existe

Una matriz 2×2 es singular cuando $ad - bc = 0$. Geométricamente, sus dos vectores columna están sobre la misma recta, así que la transformación aplasta el plano sobre una recta y se pierde información: no hay manera de revertirla. Por ejemplo, [[2, 4], [1, 2]] tiene determinante $(2)(2) - (4)(1) = 0$, por lo que no tiene inversa.

Resolver Ax = b con la inversa

Uno de los usos principales de la inversa es resolver un sistema lineal. Si $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ y $A$ es invertible, multiplicar ambos lados por $A^{-1}$ da

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}.$

Para un sistema 2×2 es un camino rápido a la solución una vez conocida la inversa. Cuando la matriz de coeficientes es singular, el sistema tiene o ninguna solución o infinitas.

Propiedades útiles

• $(A^{-1})^{-1} = A$: invertir dos veces devuelve la matriz original.
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$: la inversa de un producto invierte el orden.
• $\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)$: el determinante de la inversa es el inverso del determinante.
• $(A^{\mathsf{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf{T}}$: transponer e invertir conmutan.