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Generado el: 20 de julio de 2026 a las 21:34

Resolver sistema de ecuaciones lineales 3×3

Fórmula

a_1\, x + b_1\, y + c_1\, z = d_1
a_2\, x + b_2\, y + c_2\, z = d_2
a_3\, x + b_3\, y + c_3\, z = d_3

Datos de entrada

coeficiente de x, ecuación 12
coeficiente de y, ecuación 11
coeficiente de z, ecuación 1-1
término independiente, ecuación 18
coeficiente de x, ecuación 2-3
coeficiente de y, ecuación 2-1
coeficiente de z, ecuación 22
término independiente, ecuación 2-11
coeficiente de x, ecuación 3-2
coeficiente de y, ecuación 31
coeficiente de z, ecuación 32
término independiente, ecuación 3-3

Generado con OneCalc · https://onecalc.app/es/math/system-of-equations-3x3

Matemáticas

Resolver sistema de ecuaciones lineales 3×3

Resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Introduce los coeficientes de tres ecuaciones en x, y y z para obtener la solución, o averigua si el sistema no tiene solución única.

Datos de entrada

a_1\, x + b_1\, y + c_1\, z = d_1
a_2\, x + b_2\, y + c_2\, z = d_2
a_3\, x + b_3\, y + c_3\, z = d_3

Resultados

Introduce un valor para ver los resultados.

Sin solución única

\begin{aligned} D &= a_1(b_2 c_3 - c_2 b_3) - b_1(a_2 c_3 - c_2 a_3) + c_1(a_2 b_3 - b_2 a_3) \\ &= ? \end{aligned}

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Qué hace esta calculadora

Esta calculadora resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, x, y y z:

a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3

A partir de los doce coeficientes y constantes, aplica la regla de Cramer para devolver la solución única (x, y, z), o informa de que el sistema no tiene solución única cuando la matriz de coeficientes es singular.

Regla de Cramer para un sistema 3×3

La regla de Cramer expresa cada incógnita como un cociente de determinantes. Primero se calcula el determinante de la matriz de coeficientes:

D=∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣=a1(b2c3−c2b3)−b1(a2c3−c2a3)+c1(a2b3−b2a3)D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1(b_2 c_3 - c_2 b_3) - b_1(a_2 c_3 - c_2 a_3) + c_1(a_2 b_3 - b_2 a_3)

Cuando D ≠ 0, la solución única es:

x=DxD,y=DyD,z=DzDx = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}

Cada determinante del numerador es el determinante de coeficientes con una columna sustituida por la columna de constantes (d₁, d₂, d₃):

Dx=∣d1b1c1d2b2c2d3b3c3∣,Dy=∣a1d1c1a2d2c2a3d3c3∣,Dz=∣a1b1d1a2b2d2a3b3d3∣D_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}

Esto procede directamente del álgebra lineal: para una matriz no singular A, la solución de Av = d es v = A⁻¹d, y la regla de Cramer es esa inversa escrita determinante a determinante.

Significado geométrico

Cada ecuación describe un plano en el espacio tridimensional. Resolver el sistema equivale a encontrar el punto donde se cortan los tres planos.

  • D ≠ 0 (solución única): Los tres planos se cortan en exactamente un punto. La matriz de coeficientes es invertible.
  • D = 0 (sin solución única): Los planos no se cortan en un único punto. Comparten una recta común (infinitas soluciones) o no tienen ningún punto en común (sin solución). La regla de Cramer no puede dar una respuesta única en este caso.

Ejemplo resuelto

Resolvemos el sistema predeterminado:

2x+y−z=8−3x−y+2z=−11−2x+y+2z=−32x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3

Paso 1 — determinante de la matriz de coeficientes:

D=2((−1)(2)−(2)(1))−1((−3)(2)−(2)(−2))+(−1)((−3)(1)−(−1)(−2))D = 2\big((-1)(2) - (2)(1)\big) - 1\big((-3)(2) - (2)(-2)\big) + (-1)\big((-3)(1) - (-1)(-2)\big) D=2(−4)−1(−2)+(−1)(−5)=−8+2+5=−1D = 2(-4) - 1(-2) + (-1)(-5) = -8 + 2 + 5 = -1

D ≠ 0, así que hay una solución única.

Paso 2 — resolver x (sustituir la columna de x por las constantes):

Dx=∣81−1−11−12−312∣=−2⇒x=−2−1=2D_x = \begin{vmatrix} 8 & 1 & -1 \\ -11 & -1 & 2 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-2}{-1} = 2

Paso 3 — resolver y (sustituir la columna de y por las constantes):

Dy=∣28−1−3−112−2−32∣=−3⇒y=−3−1=3D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 & -1 \\ -3 & -11 & 2 \\ -2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = -3 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{-3}{-1} = 3

Paso 4 — resolver z (sustituir la columna de z por las constantes):

Dz=∣218−3−1−11−21−3∣=1⇒z=1−1=−1D_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 8 \\ -3 & -1 & -11 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 1 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{1}{-1} = -1

Verificación:

2(2)+3−(−1)=8✓−3(2)−3+2(−1)=−11✓−2(2)+3+2(−1)=−3✓2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark

Cuando el determinante es cero

Si D = 0, las tres filas de la matriz de coeficientes son linealmente dependientes: una ecuación es combinación de las otras. Hay dos posibilidades:

  • Infinitas soluciones: las constantes son compatibles con la dependencia, por lo que los planos comparten toda una recta de puntos comunes.
  • Sin solución: las constantes contradicen la dependencia, por lo que los planos nunca se cortan en un punto.

La regla de Cramer solo se aplica cuando D ≠ 0, por eso la calculadora indica «sin solución única» en cuanto D = 0. Para clasificar con precisión el caso degenerado, reduce la matriz ampliada con eliminación gaussiana y compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la matriz ampliada.

Aplicaciones

Los sistemas lineales de tres variables aparecen en los cursos de álgebra y precálculo, en el análisis de circuitos (leyes de Kirchhoff en tres mallas), al ajustar reacciones químicas y en cualquier situación en la que deban cumplirse tres condiciones lineales a la vez. La regla de Cramer da una respuesta directa en forma cerrada, lo que la hace cómoda para comprobar un sistema pequeño o expresar una solución de forma simbólica.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué indica el determinante?

El determinante D de la matriz de coeficientes decide si el sistema tiene una respuesta única. Cuando D ≠ 0, los tres planos se cortan en exactamente un punto, así que x, y y z quedan determinados de forma única. Cuando D = 0, los planos están dispuestos de modo que comparten toda una recta o ningún punto común, y la regla de Cramer no puede devolver una sola solución.

¿En qué se diferencia la regla de Cramer de la eliminación?

La eliminación gaussiana y la sustitución llegan al mismo resultado mediante operaciones por filas paso a paso. La regla de Cramer, en cambio, escribe cada incógnita directamente como un cociente de determinantes: x = Dₓ/D, y = D_y/D, z = D_z/D. Resulta útil para obtener una expresión cerrada y para sistemas que quieres evaluar de forma simbólica, aunque la eliminación suele ser más rápida en sistemas grandes.

¿Por qué mi sistema muestra «sin solución única»?

Ese mensaje aparece siempre que D = 0. Las tres ecuaciones son entonces linealmente dependientes: al menos una es una combinación de las otras. Según los términos independientes, el sistema tiene infinitas soluciones (los planos comparten una recta) o ninguna (los planos no coinciden en un punto común). La regla de Cramer solo se aplica cuando D ≠ 0, así que se detiene aquí.

¿Cómo puedo comprobar la solución?

Sustituye los valores obtenidos de x, y y z en las tres ecuaciones originales. Cada lado izquierdo debería coincidir con su lado derecho (d₁, d₂, d₃). Como la solución se calcula a partir de cocientes exactos de determinantes, es normal un pequeño redondeo en los decimales mostrados; los valores internos satisfacen las ecuaciones con plena precisión.

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