Última actualización: 2026-05-18

El intervalo de confianza

Un intervalo de confianza proporciona un rango de valores plausibles para un parámetro poblacional desconocido —generalmente la media— a partir de los datos de una muestra. A partir de la media muestral, la desviación estándar y el tamaño de muestra, la calculadora obtiene el límite inferior, el límite superior y el margen de error para el nivel de confianza seleccionado.

Fórmulas

Con la media muestral $\bar{x}$, la desviación estándar $\sigma$, el tamaño de muestra $n$ y el valor Z crítico $z^*$:

Error estándar:

$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Margen de error:

$$ME = z^* \times SE = z^* \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Intervalo de confianza:

$$CI = \bar{x} \pm ME = \left[\bar{x} - z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$$

Valores Z críticos (distribución normal estándar):

Nivel de confianza	$z^*$
90 %	1,6449
95 %	1,9600
99 %	2,5758

Interpretación de un intervalo de confianza

El malentendido más frecuente: «hay un 95 % de probabilidad de que la media verdadera esté dentro de este intervalo». Esto es incorrecto. La media poblacional $\mu$ es una constante fija (desconocida), no una variable aleatoria. El intervalo es el objeto aleatorio.

La interpretación correcta: si se repitiera el proceso de muestreo muchas veces y se construyera un intervalo de confianza del 95 % con cada muestra, aproximadamente el 95 % de esos intervalos contendría la media verdadera. El intervalo obtenido contiene $\mu$ o no —simplemente se desconoce cuál de las dos opciones es correcta.

En la práctica: un IC del 95 % es un rango comunicable con alto grado de confianza, sabiendo que 1 de cada 20 intervalos (en promedio) no acertará.

Cuándo usar Z en lugar de t

Esta calculadora utiliza la distribución Z (normal estándar). Es apropiada cuando:

• La desviación estándar poblacional $\sigma$ es conocida, O
• El tamaño de muestra es grande ($n \geq 30$), de modo que el Teorema Central del Límite garantiza que la distribución muestral es aproximadamente normal

Cuando $\sigma$ es desconocida y $n < 30$, conviene aplicar la distribución t con $n - 1$ grados de libertad. La distribución t tiene colas más pesadas, lo que produce intervalos más amplios (más conservadores). Para $n \geq 30$, la diferencia entre Z y t es despreciable.

Cómo el tamaño de muestra afecta el intervalo

El margen de error disminuye a medida que $\sqrt{n}$ crece. Para reducir el margen de error a la mitad, se necesitan cuatro veces las observaciones originales —una restricción clave en el diseño de encuestas.

Tamaño de muestra	ME (95 %, σ = 10)
n = 25	±3,92
n = 100	±1,96
n = 400	±0,98
n = 1600	±0,49

Ejemplo resuelto: análisis de calificaciones

Un docente selecciona aleatoriamente 35 exámenes de una clase. La media muestral es de 47,3 puntos con una desviación estándar de 11,8.

Error estándar: $SE = 11{,}8 / \sqrt{35} \approx 1{,}994$

Intervalo de confianza al 95 %: $ME = 1{,}96 \times 1{,}994 \approx 3{,}91$

$$CI = [47{,}3 - 3{,}91,\ 47{,}3 + 3{,}91] = [43{,}4,\ 51{,}2]$$

Interpretación: «Con base en esta muestra de 35 exámenes, estimamos que el promedio de la clase se encuentra entre 43,4 y 51,2 puntos, con un 95 % de confianza.»

Al 99 % de confianza el intervalo se amplía: $ME = 2{,}576 \times 1{,}994 \approx 5{,}14$, resultando en $[42{,}2,\ 52{,}4]$. Mayor confianza implica mayor amplitud.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué significa un intervalo de confianza del 95 %?

Un intervalo de confianza del 95 % no significa que la media verdadera tenga un 95 % de probabilidad de estar en ese rango. La media poblacional es un valor fijo: o está dentro del intervalo o no lo está.

La interpretación correcta es la siguiente: si se repitiera el procedimiento de muestreo muchas veces y se calculara un intervalo de confianza en cada ocasión, el 95 % de esos intervalos contendría la verdadera media poblacional. El intervalo obtenido es uno de ellos.

¿Cómo se calcula el margen de error?

Margen de error = z* × (σ ÷ √n), donde z* es el valor Z crítico para el nivel de confianza elegido (1,645 para el 90 %, 1,960 para el 95 %, 2,576 para el 99 %), σ es la desviación estándar y n es el tamaño de muestra. Ejemplo con σ = 11,8 y n = 35 al 95 %: SE = 11,8 ÷ √35 ≈ 1,994; margen de error = 1,960 × 1,994 ≈ 3,91.

¿Cuál es la diferencia entre un intervalo de confianza y un intervalo de predicción?

Un intervalo de confianza estima dónde se encuentra la media poblacional. Un intervalo de predicción estima dónde caerá una nueva observación individual. Los intervalos de predicción son siempre más amplios porque tienen en cuenta tanto la incertidumbre de la media como la variabilidad de las observaciones individuales. Para una distribución normal, un intervalo de predicción del 95 % equivale aproximadamente a x̄ ± 2σ.

¿Cuándo se debe usar la distribución t en lugar de la Z?

Se debe usar la distribución t (valor t en lugar de valor Z) cuando: (1) la desviación estándar poblacional σ es desconocida y se estima a partir de la muestra, o (2) el tamaño de muestra es pequeño (n < 30) y no se puede asumir que la población sigue una distribución normal.

Para muestras grandes (n ≥ 30), la distribución t se aproxima a la normal, por lo que el valor Z es una buena aproximación. Esta calculadora utiliza la distribución Z, adecuada cuando σ es conocida o n ≥ 30.