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Generado el: 20 de julio de 2026 a las 21:34

Calculadora de distribución exponencial

Datos de entrada

Tasa0,5
Valor3
Límite inferior1
Límite superior4

Visualización

f(t)
t f(t)

Generado con OneCalc · https://onecalc.app/es/math/exponential-distribution

Matemáticas

Calculadora de distribución exponencial

Calcula la densidad f(x), la función de distribución P(X≤x), la probabilidad de cola P(X>x), la probabilidad de intervalo P(a≤X≤b), la media, la varianza y la mediana a partir de la tasa λ.

Datos de entrada

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Detalles

Distribución

f(t)
t f(t)

Pasos

\begin{aligned} f(x) &= \lambda e^{-\lambda x} \\ &= 0,5 \cdot e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X \le x) &= 1 - e^{-\lambda x} \\ &= 1 - e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X > x) &= e^{-\lambda x} \\ &= e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(a \le X \le b) &= e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b} \\ &= e^{-0,5 \cdot 1} - e^{-0,5 \cdot 4} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{\lambda} \\ &= \dfrac{1}{0,5} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{1}{\lambda^2} \\ &= \dfrac{1}{0,5^2} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \text{median} &= \dfrac{\ln 2}{\lambda} \\ &= \dfrac{\ln 2}{0,5} \\ &= ? \end{aligned}

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Distribución exponencial

La distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua que modela el tiempo de espera entre eventos independientes que ocurren a una tasa media constante. Es la contraparte continua de la distribución de Poisson: mientras Poisson cuenta cuántos eventos suceden en un intervalo fijo, la exponencial describe cuánto se espera entre ellos. Aparece en la ingeniería de fiabilidad, la teoría de colas y el análisis de supervivencia.

Fórmula

Dado un parámetro de tasa λ > 0 y un valor x ≥ 0, la función de densidad (PDF) es:

f(x)=λe−λx,x≥0f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0

La función de distribución (CDF) da la probabilidad de un tiempo de espera de a lo sumo x:

P(X≤x)=1−e−λxP(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}

La función de supervivencia (probabilidad de cola) es su complemento: la probabilidad de seguir esperando tras x:

P(X>x)=e−λxP(X > x) = e^{-\lambda x}

La probabilidad de que el tiempo de espera caiga en un intervalo [a, b] es la diferencia de la función de supervivencia en los extremos:

P(a≤X≤b)=e−λa−e−λbP(a \leq X \leq b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}

La media, la varianza y la mediana son funciones compactas de la tasa:

μ=1λ,σ2=1λ2,mediana=ln⁡2λ\mu = \frac{1}{\lambda}, \qquad \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}, \qquad \text{mediana} = \frac{\ln 2}{\lambda}

Ejemplo resuelto

Una línea de soporte recibe llamadas a una tasa media de λ = 0,5 llamadas por minuto, así que el intervalo medio entre llamadas es 1/0,5 = 2 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima llamada llegue en menos de 3 minutos?

Con la CDF y x = 3:

P(X≤3)=1−e−0,5×3=1−e−1,5≈0,7769P(X \leq 3) = 1 - e^{-0,5 \times 3} = 1 - e^{-1,5} \approx 0,7769

Hay una probabilidad del 77,7 % de que la próxima llamada llegue en menos de 3 minutos. La probabilidad de esperar más de 3 minutos es el complemento:

P(X>3)=e−1,5≈0,2231P(X > 3) = e^{-1,5} \approx 0,2231

La probabilidad de que la espera quede entre 1 y 4 minutos es:

P(1≤X≤4)=e−0,5−e−2≈0,6065−0,1353=0,4712P(1 \leq X \leq 4) = e^{-0,5} - e^{-2} \approx 0,6065 - 0,1353 = 0,4712

La densidad en x = 3 es:

f(3)=0,5 e−1,5≈0,1116f(3) = 0,5 \, e^{-1,5} \approx 0,1116

Deducción de la fórmula

La CDF se obtiene integrando la densidad de 0 a x:

P(X≤x)=∫0xλe−λt dt=[−e−λt]0x=1−e−λxP(X \leq x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}\, dt = \left[ -e^{-\lambda t} \right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}

La media se halla integrando x contra la densidad:

μ=∫0∞x λe−λx dx=1λ\mu = \int_0^\infty x\,\lambda e^{-\lambda x}\, dx = \frac{1}{\lambda}

La mediana resuelve P(X ≤ m) = 0,5:

1−e−λm=12  ⟹  e−λm=12  ⟹  m=ln⁡2λ1 - e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; m = \frac{\ln 2}{\lambda}

Como ln 2 ≈ 0,693 < 1, la mediana siempre es menor que la media 1/λ, lo que refleja el sesgo a la derecha de la distribución.

La propiedad de falta de memoria

La distribución exponencial es la única distribución continua sin memoria:

P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)

Haber esperado ya s unidades de tiempo no aporta información sobre la espera restante. Por eso el modelo sirve para componentes con tasa de fallo constante —piezas que no "envejecen" en sentido estadístico— y sustenta la propiedad de Markov de los procesos en tiempo continuo.

Relación con otras distribuciones

  • Poisson: Si los eventos siguen un proceso de Poisson de tasa λ, el recuento en un intervalo fijo es Poisson(λ) y el tiempo entre eventos consecutivos es Exponential(λ). Contar usa Poisson; medir los intervalos usa la exponencial.
  • Geométrica: La geométrica modela el número de ensayos discretos hasta el primer éxito. La exponencial es su análoga en tiempo continuo.
  • Gamma: La suma de k tiempos de espera Exponential(λ) independientes sigue una Gamma(k, λ): el tiempo hasta el k-ésimo evento de un proceso de Poisson.
  • Weibull: La exponencial es el caso especial de la Weibull con parámetro de forma 1, correspondiente a una tasa de riesgo constante.

Aplicaciones prácticas

  • Ingeniería de fiabilidad: modelar el tiempo hasta el fallo de componentes con tasa de riesgo constante, base de la fase de "vida útil" de la curva de la bañera.
  • Teoría de colas: representar tiempos entre llegadas y de servicio en modelos M/M/1 y afines.
  • Análisis de supervivencia: modelo de riesgo base para datos de tiempo hasta el evento en medicina y actuaría.
  • Física: describir el tiempo entre desintegraciones radiactivas, donde cada núcleo decae de forma independiente a tasa fija.
  • Telecomunicaciones: modelar el tiempo de inactividad entre llegadas de paquetes en el análisis de tráfico de red.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cuándo es adecuada la distribución exponencial?

Usa la distribución exponencial para modelar el tiempo de espera entre eventos independientes que ocurren a una tasa media constante. Ejemplos típicos son el tiempo hasta la llegada del próximo cliente, la vida útil de un componente con tasa de fallo constante y el intervalo entre desintegraciones radiactivas. Es la contraparte continua de la distribución geométrica y el complemento de tiempo de espera de la distribución de Poisson.

¿Qué es la propiedad de falta de memoria?

La distribución exponencial es la única distribución continua sin memoria: P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Haber esperado ya s unidades de tiempo no aporta ninguna información sobre cuánto más habrá que esperar; la espera restante tiene la misma distribución que si se empezara de cero. Por eso modela sistemas sin desgaste, como un componente cuya tasa de fallo no aumenta con la edad.

¿Cuál es la diferencia entre la tasa λ y la media?

La tasa λ cuenta cuántos eventos ocurren por unidad de tiempo, mientras que la media 1/λ mide el tiempo promedio entre eventos. Son inversas: si los eventos llegan a λ = 2 por hora, el intervalo medio es 1/2 = 0,5 horas. Algunas referencias parametrizan la exponencial por la media (a menudo llamada escala) en vez de la tasa; esta calculadora usa la tasa λ.

¿Cómo se relaciona la distribución exponencial con la de Poisson?

Describen el mismo proceso desde dos puntos de vista. Si los eventos siguen un proceso de Poisson con tasa λ, el número de eventos en un intervalo fijo sigue una distribución de Poisson y el tiempo entre eventos consecutivos sigue una distribución exponencial con la misma tasa λ. Contar eventos usa Poisson; medir los intervalos usa la exponencial.

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