Última actualización: 2026-05-13

Definición

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

$a^2 + b^2 = c^2$

Es uno de los resultados matemáticos más antiguos que se conocen. Tablillas babilónicas de alrededor del año 1800 a. C. ya recogen ternas pitagóricas —conjuntos de enteros que satisfacen la ecuación— siglos antes del nacimiento de Pitágoras. Lo que este y sus seguidores aportaron fue una demostración general: la relación vale para todo triángulo rectángulo, no solo para ejemplos enteros concretos.

Cómo usar esta calculadora

Introduce dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo y la calculadora hallará el tercero. Los tres campos son editables: puedes fijar la hipotenusa y un cateto para encontrar el otro, o proporcionar los dos catetos para obtener la hipotenusa.

• Conocidos a y b → hallar c (hipotenusa): $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Conocidos b y c → hallar a: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
• Conocidos a y c → hallar b: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Se admiten todas las unidades de longitud. Puedes combinar libremente el sistema métrico y el imperial.

Por qué funciona la fórmula

La demostración más intuitiva consiste en trazar tres cuadrados sobre los lados del triángulo rectángulo. El área del cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos; se puede verificar reordenando las piezas para cubrir exactamente el cuadrado mayor. Esta «demostración por disección» no requiere álgebra, solo contar áreas, motivo por el cual ha sido redescubierta de forma independiente en diversas culturas a lo largo de la historia.

La formulación algebraica se deriva de la fórmula de la distancia en geometría analítica: si se coloca el ángulo recto en el origen y los catetos a lo largo de los ejes de coordenadas, la hipotenusa —el segmento de $(a, 0)$ a $(0, b)$— tiene longitud $\sqrt{a^2 + b^2}$ por definición de distancia euclídea.

Ternas pitagóricas

Las ternas pitagóricas son soluciones enteras de $a^2 + b^2 = c^2$. Algunas de las más conocidas:

a	b	c
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25

Cualquier múltiplo entero positivo de una terna es también una terna. Así, (6, 8, 10), (9, 12, 15) y (15, 20, 25) son todas variantes de la familia (3, 4, 5).

La fórmula general para generar todas las ternas primitivas (sin factor común) usa dos enteros $m > n > 0$:

$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$

Para $m = 2, n = 1$: $a = 3, b = 4, c = 5$ — la terna clásica.

Aplicaciones en la vida real

Construcción y carpintería. La regla del 3-4-5 es la herramienta más confiable para comprobar ángulos rectos sin transportador. Se miden 3 unidades a lo largo de una pared y 4 unidades a lo largo de la adyacente; si la diagonal mide exactamente 5 unidades, el ángulo es recto.

Navegación. La distancia en línea recta entre dos puntos en un mapa plano es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son las diferencias norte-sur y este-oeste. Los receptores GPS y el software de mapas lo calculan constantemente.

Física e ingeniería. Los módulos de vectores en dos dimensiones se calculan mediante el teorema de Pitágoras. La rapidez de un objeto con velocidad horizontal $v_x$ y vertical $v_y$ es $\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

Gráficos por computadora. La distancia entre píxeles, la detección de colisiones y los cálculos de renderizado dependen del teorema. La extensión tridimensional — $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ — es una generalización directa.

Solo para triángulos rectángulos

El teorema de Pitágoras se cumple únicamente cuando uno de los ángulos es exactamente 90°. Para el resto de triángulos, la herramienta adecuada es la ley de cosenos:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$

donde $C$ es el ángulo opuesto al lado $c$. Cuando $C = 90°$, se tiene $\cos(90°) = 0$ y la ley de cosenos se reduce exactamente al teorema de Pitágoras, lo que confirma que este es un caso especial de un resultado más general.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué son las ternas pitagóricas?

Las ternas pitagóricas son conjuntos de tres enteros positivos que satisfacen a² + b² = c². La más famosa es (3, 4, 5): 9 + 16 = 25. Otras ternas habituales son (5, 12, 13), (8, 15, 17) y (7, 24, 25). Cualquier múltiplo entero de una terna también es una terna; por ejemplo, (6, 8, 10).

¿Cómo se aplica el teorema de Pitágoras en la vida real?

El teorema se utiliza en construcción (para verificar que los ángulos sean rectos), en navegación (cálculo de distancias en línea recta), en física (magnitud de vectores) y en gráficos por computadora (cálculo de distancias en 2D y 3D). Los carpinteros emplean la regla 3-4-5 para trazar ángulos rectos.

¿El teorema de Pitágoras sirve para cualquier triángulo?

No; solo se aplica a triángulos rectángulos (triángulos con un ángulo de 90°). Para otros triángulos se usa la ley del coseno: c² = a² + b² − 2ab cos(C), donde C es el ángulo opuesto al lado c.