Última actualización: 2026-06-05

Definición

La multiplicación de matrices es una operación binaria que combina dos matrices para producir una tercera. Dadas dos matrices cuadradas A y B de orden n, el producto C = A·B es una matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como sumas de productos entre las filas de A y las columnas de B.

A diferencia de la suma matricial, que opera elemento a elemento, el producto requiere que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda. Para matrices cuadradas del mismo orden este requisito siempre se cumple.

Fórmula general

Para dos matrices cuadradas de orden n, el elemento $c_{ij}$ de la matriz producto se calcula como:

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$$

Es decir, cada elemento de C es el producto escalar entre la fila $i$ de A y la columna $j$ de B.

Caso 2×2

Para matrices de orden 2×2, la fórmula se desarrolla explícitamente como:

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$$

Cada entrada de la matriz resultado requiere dos multiplicaciones y una suma.

Ejemplo numérico (2×2)

Sean:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$

El producto A·B se obtiene calculando cada entrada:

$$c_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19$$ $$c_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 6 + 16 = 22$$ $$c_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 15 + 28 = 43$$ $$c_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 18 + 32 = 50$$

Por tanto:

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$$

No conmutatividad

Una propiedad fundamental que distingue la multiplicación de matrices del producto de números reales es que, en general, A·B ≠ B·A. Siguiendo el ejemplo anterior:

$$B \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$$

Los resultados 19 ≠ 23, 22 ≠ 34, 43 ≠ 31 y 50 ≠ 46 confirman que el orden de los factores altera el producto. Solo en casos especiales — como cuando una de las matrices es la identidad, o cuando ambas son diagonales con los mismos valores — se cumple la conmutatividad.

La matriz identidad

La matriz identidad I de orden n es la única matriz cuadrada que conmuta con cualquier otra del mismo orden, y que actúa como elemento neutro del producto:

$$A \cdot I = I \cdot A = A$$

Para orden 2×2:

$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Los unos de la diagonal principal y los ceros fuera de ella garantizan que cada fila de A queda intacta al multiplicar. Esta propiedad es análoga a la del número 1 en la multiplicación escalar.

Interpretación geométrica

Cada matriz cuadrada de orden n representa una transformación lineal del espacio n-dimensional: una combinación de rotaciones, reflexiones, escalados y cizallamientos aplicada a todos los vectores del espacio.

El producto A·B codifica la composición de dos transformaciones: primero se aplica B y luego A. El orden de los factores es determinante, porque la composición de transformaciones no es, en general, conmutativa. Por ejemplo, rotar un objeto 90° y después reflejarlo produce una configuración diferente a reflejarlo primero y rotarlo después.

Esta perspectiva geométrica es la que subyace a las aplicaciones más importantes del álgebra lineal.

Aplicaciones

Gráficos 3D

En síntesis de imagen tridimensional, cada transformación de un objeto — rotación, escalado, traslación — se representa como una matriz 4×4 con coordenadas homogéneas. Cuando un objeto debe pasar por una secuencia de transformaciones, se multiplican las matrices correspondientes para obtener una única matriz combinada, que se aplica después a cada vértice. Esta operación se realiza millones de veces por fotograma, lo que explica que las unidades de procesamiento gráfico (GPU) estén diseñadas específicamente para ejecutar multiplicaciones matriciales de forma masivamente paralela.

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas puede escribirse en forma matricial como Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, x el vector de incógnitas y b el vector de términos independientes. La solución formal es x = A⁻¹b, donde A⁻¹ es la matriz inversa de A. Los métodos numéricos para resolver sistemas lineales grandes, como la eliminación gaussiana o la factorización LU, operan internamente sobre productos de matrices.

Para sistemas de dos ecuaciones puede usarse directamente la Resolver sistema de ecuaciones 2×2 — Regla de Cramer.

Redes neuronales

Cada capa de una red neuronal artificial aplica una transformación afín a su vector de entrada: multiplica por una matriz de pesos y suma un vector de sesgos. El proceso de inferencia — obtener una predicción a partir de una entrada — consiste en una sucesión de multiplicaciones matriciales intercaladas con funciones de activación. El entrenamiento, a su vez, requiere la multiplicación de gradientes en la propagación hacia atrás. La eficiencia de estas operaciones determina en gran medida la velocidad del entrenamiento y la inferencia en modelos de aprendizaje profundo.

Otras áreas

• Criptografía: el cifrado de Hill codifica mensajes mediante el producto de una matriz de clave por un vector de caracteres.
• Cadenas de Markov: la distribución de probabilidades tras n pasos se obtiene elevando la matriz de transición a la potencia n, lo que equivale a multiplicarla n veces por sí misma.
• Mecánica cuántica: los observables físicos se representan como operadores matriciales; su composición es un producto matricial.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿La multiplicación de matrices es conmutativa?

No. En general, A·B ≠ B·A. Por ejemplo, con A = [[1,2],[3,4]] y B = [[5,6],[7,8]], se obtiene A·B = [[19,22],[43,50]], mientras que B·A = [[23,34],[31,46]]. Solo en casos particulares, como la matriz identidad o las matrices diagonales con los mismos valores, el producto conmuta, pero se trata de excepciones.

¿Qué significado geométrico tiene el producto de matrices?

Cada matriz representa una transformación lineal del espacio: una combinación de rotaciones, reflexiones, escalados y cizallamientos. Multiplicar A·B equivale a componer esas transformaciones: primero se aplica B y luego A. El orden importa, porque aplicar primero una rotación y después un cizallamiento produce un resultado diferente al orden inverso.

¿Se pueden multiplicar matrices que no sean cuadradas?

Sí, siempre que el número de columnas de A coincida con el número de filas de B. Una matriz de orden m×n multiplicada por una de orden n×p da como resultado una matriz de orden m×p. Esta calculadora se centra en matrices cuadradas de orden 2×2 y 3×3, que son los casos más frecuentes en cursos de álgebra lineal y en gráficos 2D/3D.

¿Cómo se aplica la multiplicación de matrices en gráficos 3D?

En gráficos tridimensionales, cada rotación, escalado y traslación de un objeto se codifica como una matriz 4×4 (mediante coordenadas homogéneas). Para desplazar un objeto a través de una secuencia de transformaciones — por ejemplo, rotarlo, escalarlo y trasladarlo — se multiplican las tres matrices entre sí una sola vez para obtener una matriz combinada. Esa matriz se aplica después a cada vértice del objeto. Esta es la razón por la que las GPU están optimizadas para la multiplicación de matrices.