Generado el: 13 de junio de 2026, 18:01

Media Geométrica

Datos de entrada

Valores positivos	2, 8, 32

Resultados

Media geométrica	8
Media aritmética	14
Producto	512
Cantidad	3

Matemáticas

Media Geométrica

Calcula la media geométrica, la media aritmética y el producto de un conjunto de números positivos. Introduce los valores separados por comas para comparar ambas medias.

Valores positivos

Media geométrica

Detalles

Media aritmética

Producto

Cantidad

Última actualización: 2026-06-04

Definición

La media geométrica de n números positivos es la raíz n-ésima de su producto. Para los valores x₁, x₂, …, xₙ, la media geométrica G se define como:

G = \left(x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n\right)^{1/n}

Una forma equivalente y numéricamente estable emplea logaritmos:

G = \exp\!\left(\frac{\ln x_1 + \ln x_2 + \cdots + \ln x_n}{n}\right)

Ambas expresiones producen el mismo resultado. La forma logarítmica evita el desbordamiento en coma flotante cuando el producto de muchos valores grandes superaría el rango de representación numérica.

Cuándo usar la media geométrica

La media geométrica es la medida de tendencia central adecuada cuando los datos se combinan mediante multiplicación, no mediante suma. Las aplicaciones más frecuentes son:

Tasas de rendimiento y factores de crecimiento. Si una inversión crece un 20 % el primer año y cae un 10 % el segundo, los factores de crecimiento son 1,20 y 0,90. La media aritmética de esos factores es 1,05, lo que implicaría un 5 % anual, pero el resultado real a dos años es 1,20 × 0,90 = 1,08, equivalente a una tasa constante de √1,08 ≈ 1,039, es decir, aproximadamente el 3,9 %. La media geométrica de 1,20 y 0,90 proporciona exactamente ese 3,9 %; la media aritmética es engañosa en este contexto.

Índices de precios y cocientes. Cuando se promedian cocientes o valores de índices de categorías con unidades base distintas, la media geométrica pondera cada uno con la misma estructura multiplicativa, sin que los valores absolutos grandes dominen el resultado.

Datos con distribución log-normal. Los datos que abarcan varios órdenes de magnitud —recuentos bacterianos, magnitudes sísmicas, distribuciones de renta— se resumen mejor con la media geométrica porque corresponde a la mediana de la distribución log-normal subyacente.

Como norma general: la media aritmética es apropiada para datos aditivos (temperaturas, distancias, calificaciones) y la media geométrica para datos multiplicativos (factores de crecimiento, índices de precios, proporciones geométricas).

Ejemplo de cálculo

Tres rendimientos anuales de una inversión son del 12 %, −8 % y 24 %. Convertidos en factores de crecimiento: 1,12, 0,92 y 1,24.

Producto: 1,12 × 0,92 × 1,24 ≈ 1,2782
Media geométrica: 1,2782^(1/3) ≈ 1,0854
Tasa anual constante equivalente: 8,54 %
Media aritmética de los factores: (1,12 + 0,92 + 1,24) / 3 ≈ 1,0933, lo que implicaría un 9,33 %

La media aritmética sobreestima la tasa sostenible porque no tiene en cuenta la interacción del interés compuesto entre ganancias y pérdidas. Tras tres años a la tasa de la media geométrica del 8,54 %, una inversión de 1.000 € se convierte en 1.000 × 1,2782 ≈ 1.278 €, coincidiendo exactamente con el resultado real.

La desigualdad MA-MG

Para cualquier lista de números positivos, la media aritmética (MA) siempre es mayor o igual que la media geométrica (MG):

\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \left(x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n\right)^{1/n}

La igualdad se da únicamente cuando todos los valores son idénticos. La diferencia entre MA y MG crece con la dispersión de los datos, por lo que es un indicador útil de cuán variable es un conjunto de datos en términos multiplicativos.

La desigualdad MA-MG aparece en distintos campos de las matemáticas. Una interpretación geométrica: entre todos los rectángulos con un perímetro fijo, el cuadrado (lados iguales) tiene el área máxima. El área es la media geométrica de los dos lados, y se maximiza cuando ambos coinciden con la media aritmética.

Cálculo logarítmico y estabilidad numérica

Calcular el producto de muchos valores de forma directa puede provocar desbordamiento en coma flotante incluso con conjuntos de datos de tamaño moderado. Tomar el logaritmo natural de cada valor, promediar los logaritmos y exponenciar el resultado evita este problema:

G = \exp\!\left(\operatorname{mean}\bigl(\ln x_1,\, \ln x_2,\, \ldots,\, \ln x_n\bigr)\right)

La transformación logarítmica convierte la multiplicación en suma y la potenciación en un escalar, de modo que todos los valores intermedios permanecen en un rango numéricamente seguro. Esta calculadora utiliza internamente esta forma.

Relación con otras medias

La media geométrica es una de las tres medias pitagóricas:

Media aritmética (MA): minimiza la suma de las diferencias al cuadrado; sensible a valores atípicos.
Media geométrica (MG): minimiza la suma de las diferencias al cuadrado en escala logarítmica; natural para datos multiplicativos.
Media armónica (MH): recíproca de la media de los recíprocos; apropiada para velocidades y tasas.

Para datos positivos, se cumple siempre que MH ≤ MG ≤ MA. Esta calculadora obtiene tanto la MG como la MA para que puedan compararse de forma directa.

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Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cuándo se usa la media geométrica en lugar de la media aritmética?

La media geométrica es la medida adecuada cuando los valores se combinan mediante multiplicación, no mediante suma. Los casos más habituales son las tasas de rendimiento, los índices de precios y los cocientes.

Por ejemplo, si una inversión crece un 50 % el primer año y cae un 33 % el segundo, los factores de crecimiento son 1,50 y 0,67. La media aritmética de esos factores (1,085) sobreestima el rendimiento real, mientras que la media geométrica (aproximadamente 1,00) refleja la tasa constante equivalente que produce el mismo resultado acumulado.

¿Por qué los valores deben ser positivos?

La media geométrica se define como la raíz n-ésima del producto de n valores. Si algún valor es cero, el producto colapsa a cero independientemente del resto. Si algún valor es negativo, el producto de un número par de valores puede ser positivo pero el resultado no representa un "centro" estadístico con sentido; con un número impar de valores negativos, la raíz real produce un número negativo sin interpretación válida como promedio.

En la práctica, la media geométrica se aplica a cantidades intrínsecamente positivas: precios, longitudes, tamaños de población y factores de rendimiento.

¿Qué relación tiene la media geométrica con el crecimiento compuesto?

La media geométrica de una serie de factores de crecimiento es el factor constante que, aplicado en cada periodo, produce el mismo valor final que los factores variables. Si una inversión registra factores r₁, r₂, …, rₙ durante n periodos, el valor final es el valor inicial multiplicado por r₁ × r₂ × … × rₙ. La media geométrica G = (r₁ × r₂ × … × rₙ)^(1/n) es el factor equivalente constante por periodo.

Por ejemplo, factores de crecimiento de 1,20, 0,90 y 1,15 dan una media geométrica de aproximadamente 1,082, es decir, una tasa de crecimiento constante equivalente de alrededor del 8,2 % por periodo.

¿Qué es la desigualdad MA-MG?

La desigualdad entre la media aritmética (MA) y la media geométrica (MG) establece que, para cualquier lista de números positivos, la media aritmética siempre es mayor o igual que la media geométrica, con igualdad únicamente cuando todos los valores son idénticos.

Formalmente: (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n ≥ (x₁ × x₂ × … × xₙ)^(1/n)

La diferencia entre MA y MG crece con la dispersión de los datos. Esta calculadora muestra ambas medidas para que la desigualdad sea observable de forma directa. La desigualdad MA-MG tiene aplicaciones en optimización, geometría y finanzas.

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