Última actualización: 2026-05-19

El discriminante

El discriminante de una ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 es la expresión D = b² − 4ac. Con un solo número indica cuántas raíces reales tiene la ecuación y de qué tipo son, sin necesidad de aplicar la fórmula general completa. Es un recurso fundamental en secundaria y bachillerato y también en aplicaciones de ingeniería y física donde interesa conocer la naturaleza de las raíces antes de calcularlas.

Cálculo del discriminante

1. Elevar al cuadrado el coeficiente central: b²
2. Multiplicar los coeficientes extremos por cuatro: 4 · a · c
3. Restar: D = b² − 4ac

No se necesitan raíces cuadradas ni fracciones; basta con tres operaciones básicas. El signo del resultado determina directamente el tipo de raíces.

Interpretación del signo de D

Cuando D = 0, el vértice de la parábola descansa exactamente sobre el eje x y la única solución real es x = −b / (2a).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — D > 0 (dos raíces reales distintas)

Ecuación: x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6)

Cálculo: b² = 25, 4ac = 24, D = 25 − 24 = 1

Como D = 1 > 0, hay dos raíces reales distintas. Aplicando la fórmula general se obtiene x₁ = 2 y x₂ = 3, que son los puntos donde la parábola y = x² − 5x + 6 corta al eje x.

Ejemplo 2 — D = 0 (raíz doble)

Ecuación: x² − 6x + 9 = 0 (a = 1, b = −6, c = 9)

Cálculo: b² = 36, 4ac = 36, D = 36 − 36 = 0

La raíz doble es x = −(−6) / (2 · 1) = 3. La ecuación se factoriza como (x − 3)² = 0 y la parábola toca el eje x justo en su vértice, x = 3.

Ejemplo 3 — D < 0 (raíces complejas)

Ecuación: x² + x + 1 = 0 (a = 1, b = 1, c = 1)

Cálculo: b² = 1, 4ac = 4, D = 1 − 4 = −3

Al ser D = −3 < 0, no existen raíces reales. Las dos raíces son los complejos conjugados $x = (-1 \pm \sqrt{3}\,i) / 2 \approx -0{,}5 \pm 0{,}866i$. La calculadora muestra $\sqrt{|D|} = \sqrt{3} \approx 1{,}732$, que equivale al módulo de la parte imaginaria.

Relación con la fórmula general

La fórmula general (también llamada fórmula cuadrática o resolvente) es:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

El radicando bajo la raíz es exactamente el discriminante D. Cuando D > 0, $\sqrt{D}$ es un número real positivo y el ± genera dos raíces distintas. Cuando D = 0, la raíz se anula y queda una sola raíz. Cuando D < 0, la raíz cuadrada no es real y la fórmula produce números complejos. Calcular D primero ahorra tiempo cuando solo importa el tipo de raíces.

Caso especial: a = 0

Si a = 0, la expresión ax² + bx + c = 0 se convierte en la ecuación lineal bx + c = 0. La fórmula D = b² − 4ac produce un resultado (b²), pero ese valor no tiene el significado del discriminante de una ecuación cuadrática. Esta calculadora exige a ≠ 0 y muestra un error cuando a = 0. La ecuación lineal se resuelve directamente como x = −c / b (siempre que b ≠ 0).