Última actualización: 2026-05-18

Volumen de una esfera

El volumen de una esfera es la medida del espacio tridimensional encerrado por su superficie curva. Para una esfera de radio r, el volumen es V = (4/3)πr³ y el área superficial es A = 4πr².

Las fórmulas

Para una esfera de radio r:

Propiedad	Fórmula
Volumen	V = (4/3)πr³
Área superficial	A = 4πr²
Diámetro	d = 2r

Derivación del factor (4/3)π

Arquímedes demostró hacia el año 250 a. C. que una esfera ocupa exactamente dos tercios del volumen del cilindro que la contiene (radio r, altura 2r). Como el volumen del cilindro es 2πr³, el de la esfera es (2/3) × 2πr³ = (4/3)πr³.

Derivación de la superficie

La superficie es la derivada del volumen respecto a r: si se retira una capa infinitesimalmente delgada de la esfera, se obtiene dV/dr = 4πr². Arquímedes también demostró que la superficie de la esfera es igual al área lateral del cilindro circunscrito, resultado que pidió que fuera grabado en su tumba.

Escalado cúbico

El volumen crece con r³, de modo que duplicar el radio multiplica el volumen por 8:

Factor del radio	Factor del volumen	Factor del área
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

Un balón de baloncesto (r ≈ 12 cm) contiene unas 8 veces más aire que una pelota de tenis (r ≈ 6 cm), aunque visualmente parezca solo el doble de grande.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Balón de fútbol

Un balón reglamentario tiene una circunferencia de unos 68,5 cm, por lo que r = 68,5 / (2π) ≈ 10,9 cm.

Volumen: V = (4/3) × π × (0,109)³ ≈ 0,00542 m³ ≈ 5,42 litros Área superficial: A = 4 × π × (0,109)² ≈ 0,149 m² ≈ 1490 cm²

Ejemplo 2 — Depósito esférico

Un depósito de agua esférico con r = 2 m almacena:

V = (4/3) × π × 8 ≈ 33,51 m³ ≈ 33.510 litros

Su área A = 4π × 4 ≈ 50,27 m² indica cuánto material de revestimiento se necesita.

Ejemplo 3 — Obtener el radio a partir del volumen

Si una esfera tiene exactamente 1 m³ de volumen, su radio es:

r = ∛(3V / (4π)) = ∛(3 / (4π)) ≈ 0,6204 m (unos 62 cm)

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cuál es la fórmula del volumen de una esfera?

El volumen de una esfera es V = (4/3)πr³, donde r es el radio. Por ejemplo, una esfera con r = 5 cm tiene V = (4/3) × π × 125 ≈ 523,6 cm³. Esta fórmula fue demostrada por Arquímedes comparando la esfera con el cilindro que la contiene.

¿Cómo se calcula el área superficial de una esfera?

El área superficial de una esfera es A = 4πr². Para r = 5 cm, A = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314,2 cm². Arquímedes demostró que el área de la esfera es igual al área lateral del cilindro circunscrito, resultado que mandó grabar en su tumba.

¿Qué ocurre con el volumen si se duplica el radio?

Como el volumen varía con r³, duplicar el radio multiplica el volumen por 2³ = 8. Una esfera de r = 10 cm contiene ocho veces más que una de r = 5 cm. Triplicar el radio lo multiplica por 27.

¿Cómo se obtiene el radio a partir del volumen de una esfera?

Despejando r en V = (4/3)πr³ se obtiene r = ∛(3V / (4π)). Por ejemplo, si V = 1 m³, entonces r = ∛(3 / (4π)) ≈ 0,6204 m.