Última actualización: 2026-05-20

El tronco de cono

Un tronco de cono —también llamado cono truncado— es el sólido que resulta de cortar un cono recto con un plano paralelo a la base y eliminar la parte superior. Tiene dos bases circulares: una mayor en la parte inferior con radio R y una menor en la parte superior con radio r, unidas por una superficie lateral curva; la altura h se mide perpendicularmente entre ambas bases.

Esta forma aparece constantemente en ingeniería y en la vida cotidiana: cubos, vasos de plástico, embudos, pantallas de lámpara y las secciones de transición en cohetes o depósitos industriales.

Fórmulas

Las cuatro magnitudes de salida se obtienen directamente a partir de R, r y h.

La generatriz l es la distancia en línea recta a lo largo de la superficie lateral entre un punto del borde inferior y el punto correspondiente del borde superior:

$l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}$

Es una aplicación directa del teorema de Pitágoras sobre el triángulo rectángulo formado por la diferencia de radios y la altura vertical.

El volumen se obtiene restando el cono pequeño eliminado al cono grande original:

$V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$

El área lateral (solo la cara curva) equivale al área de un sector anular plano cuando se despliega la superficie:

$A_{\text{lat}} = \pi(R + r)\,l$

La superficie total incluye además las dos bases circulares:

$A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + \pi R^2 + \pi r^2 = \pi(R + r)l + \pi(R^2 + r^2)$

Tronco de cono frente al cono completo

El tronco de cono no es más que un cono al que se le ha quitado la punta. Cuando el radio superior r = 0, las fórmulas del tronco se reducen a las del cono completo: V = πR²h/3 y área lateral = πRl.

Cuando r = R, el tronco se convierte en un cilindro: la generatriz iguala a h, el volumen es πR²h y el área lateral es 2πRh. Ambos casos extremos son comprobaciones útiles al verificar cálculos.

Ejemplo práctico

Un cubo de fregar doméstico de uso habitual mide unos 30 cm de diámetro en la base y 24 cm en la boca superior, con una altura de 25 cm. ¿Cuánto líquido cabe y cuánto material se necesita para fabricarlo?

• R = 15 cm, r = 12 cm, h = 25 cm
• $l = \sqrt{(15 - 12)^2 + 25^2} = \sqrt{9 + 625} = \sqrt{634} \approx 25{,}18$ cm
• V = (π × 25/3) × (225 + 180 + 144) = (π × 25/3) × 549 ≈ 14 373 cm³ ≈ 14,4 litros
• A_lat = π × (15 + 12) × 25,18 = π × 27 × 25,18 ≈ 2 135 cm²
• A_tot = 2 135 + π × 225 + π × 144 ≈ 2 135 + 707 + 452 ≈ 3 294 cm²

El cubo tiene una capacidad de unos 14 litros (tamaño habitual en el mercado) y requiere aproximadamente 3 294 cm² de plástico para su fabricación, sin contar el grosor del material ni el borde.

Aplicaciones habituales

• Cubos y baldes — la forma troncocónica facilita el apilamiento y reduce el uso de material; el volumen determina la capacidad en litros.
• Embudos y tolvas industriales — las tolvas de alimentación de maquinaria son troncos de cono invertidos; el volumen establece la capacidad del depósito.
• Pantallas de lámpara — la superficie lateral indica la cantidad de tela o papel necesaria para confeccionarlas.
• Arquitectura — tejados troncocónicos, torres de enfriamiento y columnas decorativas utilizan esta geometría en su cálculo estructural.
• Aeronáutica y cohetería — las secciones de transición entre la ojiva y el cuerpo cilíndrico del cohete se modelan frecuentemente como troncos de cono para estimar la resistencia aerodinámica.

Por qué el volumen tiene tres términos

El factor (R² + Rr + r²) proviene de la identidad algebraica que aparece al restar el cono pequeño del grande. Si el cono grande tiene una altura total H desde el vértice hasta la base y el pequeño eliminado tiene altura H − h, entonces:

$V_{\text{tronco}} = \frac{\pi H}{3} R^2 - \frac{\pi (H - h)}{3} r^2$

Tras eliminar H mediante la relación de semejanza H/R = (H − h)/r y simplificar, la expresión se reduce a la forma compacta anterior. Los tres términos —R², Rr y r²— pueden interpretarse como las áreas de la base inferior, la base de media geométrica y la base superior respectivamente, ponderadas por h/3.