Última actualización: 2026-06-23

Prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste

La prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste plantea una sola pregunta: ¿coincide un conjunto de frecuencias observadas por categoría con las que predice una hipótesis? Es la herramienta habitual para comparar una muestra categórica con una distribución teórica: comprobar si un dado es equilibrado, si unos cruces genéticos siguen una proporción 9:3:3:1 o si los colores de una bolsa de caramelos aparecen en las proporciones anunciadas. Se introducen las frecuencias observadas en cada categoría y las esperadas bajo la hipótesis nula, y la prueba devuelve un estadístico, sus grados de libertad y un valor p.

El estadístico

La prueba resume la brecha entre observación y expectativa con el estadístico de Pearson

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

donde $O_i$ es la frecuencia observada en la categoría $i$, $E_i$ es la frecuencia esperada y $k$ es el número de categorías. Cada término mide cuánto se aparta una categoría de su predicción. La desviación se eleva al cuadrado para que excedentes y déficits cuenten ambos como evidencia contra la hipótesis en lugar de cancelarse, y para que las brechas absolutas mayores pesen más. Dividir entre $E_i$ normaliza cada desviación cuadrática: una diferencia de diez frecuencias es una discrepancia grave cuando solo se esperaban cinco, pero trivial cuando se esperaban cinco mil, y dividir entre la frecuencia esperada coloca a todas las categorías en una escala comparable. Sumar sobre las categorías da un único número que crece a medida que los datos se alejan de la hipótesis. Cuando las frecuencias observadas igualan exactamente a las esperadas, cada término es cero y $\chi^2 = 0$.

Grados de libertad y valor p

El estadístico se compara con una distribución chi-cuadrado cuya forma queda fijada por sus grados de libertad. Para una prueba simple de bondad de ajuste,

$\text{df} = k - 1$

Se gasta un grado de libertad porque las frecuencias por categoría deben sumar un total conocido: una vez fijadas las primeras k − 1, la última queda determinada, de modo que solo k − 1 son libres de variar. (Si la distribución esperada se estima a partir de los datos con parámetros adicionales, se resta un grado de libertad más por cada parámetro estimado.)

El valor p es la probabilidad de la cola superior: la probabilidad de observar un estadístico al menos tan grande como el obtenido si la hipótesis nula fuera cierta. La bondad de ajuste es por naturaleza una prueba unilateral de cola superior: solo los valores grandes de $\chi^2$ señalan un mal ajuste, mientras que los pequeños indican que los datos están cerca de la predicción. El valor p se compara con un nivel de significación $\alpha$ (habitualmente el cinco por ciento). Cuando $p < \alpha$, la discrepancia es mayor de lo que el ruido de muestreo explica con holgura, y se rechaza la hipótesis de que los datos siguen la distribución esperada. Cuando $p \ge \alpha$, los datos son compatibles con la hipótesis, lo que no equivale a demostrar que es cierta.

Ejemplo resuelto

Supóngase que una tienda espera que sus tres cajas atiendan el tráfico con un reparto 40:40:20 entre 100 clientes, y una tarde registra 50, 30 y 20 clientes. Las frecuencias esperadas son 40, 40 y 20. Entonces

Con tres categorías, la prueba tiene dos grados de libertad. El valor p de la cola superior para $\chi^2 = 5$ con dos grados de libertad es de unos $0.082 \approx p$. Como $p \gt 0.05$, el reparto observado es compatible con la distribución esperada 40:40:20 al nivel del 5 %: el aparente desequilibrio entre las dos primeras cajas entra dentro de la variación habitual del muestreo.

Supuestos

La aproximación chi-cuadrado descansa sobre unas pocas condiciones. Las frecuencias esperadas deben ser razonablemente grandes: una regla general muy difundida exige que cada frecuencia esperada sea al menos 5; cuando varias son menores, conviene agrupar las categorías poco pobladas o usar una prueba exacta. Las observaciones deben ser independientes, cayendo cada unidad en una sola categoría. Y la prueba trabaja sobre frecuencias absolutas, no sobre porcentajes ni proporciones: si una hipótesis se expresa como proporciones, multiplique cada una por el tamaño total de la muestra para obtener las frecuencias esperadas antes de aplicar la prueba, y compruebe que estas suman el mismo total que las observadas.

Para comparar las medias de dos grupos en lugar de frecuencias categóricas, véase la Prueba t para dos muestras (Welch); para convertir un estadístico z en una probabilidad de cola, véase el Valor p a partir de la puntuación z.