Generado el: 13 de junio de 2026, 18:01

Distribución de Poisson

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Función de masa 0

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Matemáticas

Distribución de Poisson

Calcula P(X=k), P(X≤k) y P(X≥k) para una distribución de Poisson dado el parámetro de tasa λ y el número de eventos k. Incluye pasos de derivación y diagrama de distribución.

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Detalles

Probabilidades

\begin{aligned} P(X=k) &= \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \\ &= \dfrac{e^{-3} \cdot 3^{ 2 }}{ 2!} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}

Distribución

Función de masa 0

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La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de eventos independientes que ocurren en un intervalo fijo de tiempo o espacio cuando los eventos suceden a una tasa media constante. Es una de las distribuciones más utilizadas en estadística, con aplicaciones en teoría de colas, ingeniería de confiabilidad, epidemiología y finanzas.

Función de masa de probabilidad

Dado un parámetro de tasa λ > 0 y un entero no negativo k, la función de masa de probabilidad (FMP) es:

P(X=k)=e−λ λkk!,k=0,1,2,…P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

donde e es el número de Euler (≈ 2,71828) y k! es el factorial de k.

La función de distribución acumulada (FDA) se obtiene sumando la FMP desde 0 hasta k:

P(X≤k)=∑i=0ke−λ λii!P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^i}{i!}

La probabilidad complementaria (al menos k eventos) se calcula mediante:

P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)

Media y varianza

La distribución de Poisson tiene la propiedad característica de que su media y su varianza son iguales:

μ=λ,σ2=λ\mu = \lambda, \qquad \sigma^2 = \lambda

La desviación estándar es √λ y el coeficiente de variación es 1/√λ, que disminuye a medida que λ aumenta.

Ejemplo de cálculo

Una plataforma de comercio electrónico recibe en promedio 8 pedidos por hora (λ = 8). ¿Cuál es la probabilidad de recibir exactamente 5 pedidos en la próxima hora?

P(X=5)=e−8⋅855!=e−8⋅32768120≈0,0916P(X = 5) = \frac{e^{-8} \cdot 8^5}{5!} = \frac{e^{-8} \cdot 32768}{120} \approx 0{,}0916

La probabilidad es aproximadamente 9,2 %. La probabilidad de recibir como máximo 5 pedidos:

P(X≤5)=∑i=05e−8⋅8ii!≈0,1912P(X \leq 5) = \sum_{i=0}^{5} \frac{e^{-8} \cdot 8^i}{i!} \approx 0{,}1912

Y la probabilidad de recibir al menos 5 pedidos:

P(X≥5)=1−P(X≤4)≈0,9004P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4) \approx 0{,}9004

Derivación a partir de la distribución binomial

La distribución de Poisson se obtiene como caso límite de la distribución binomial Binomial(n, p) cuando n → ∞ y p → 0, manteniendo constante el producto np = λ:

(nk)pk(1−p)n−k  →n→∞,  np=λ  λkk!e−λ\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \;\xrightarrow{n\to\infty,\;np=\lambda}\; \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

Los pasos principales son:

  • El coeficiente binomial n!/(k!(n−k)!) converge a n^k/k!.
  • p^k = (λ/n)^k aporta λ^k/n^k, que se cancela con n^k.
  • (1 − λ/n)^n converge a e^−λ cuando n → ∞.

Por qué la media y la varianza son ambas iguales a λ

En la distribución binomial, la media es np = λ y la varianza es np(1−p). Cuando p → 0, el factor (1−p) → 1, por lo que la varianza también converge a np = λ. Esta igualdad —media = varianza = λ— es la marca distintiva de la distribución de Poisson. Si los datos observados presentan una varianza considerablemente mayor que la media (sobredispersión), conviene considerar un modelo binomial negativo.

Cálculo numérico

Para valores grandes de k, calcular λ^k y k! por separado puede provocar desbordamiento aritmético. La forma logarítmica de la FMP resuelve este problema:

log⁡P(X=k)=−λ+klog⁡λ−log⁡(k!)\log P(X = k) = -\lambda + k \log \lambda - \log(k!)

El término log k! se acumula iterativamente como log 2 + log 3 + … + log k y al final se exponencia. Este procedimiento mantiene precisión numérica hasta valores de k del orden de varios cientos.

Relación con otras distribuciones

  • Distribución binomial: la aproximación de Poisson es fiable cuando n ≥ 20 y p ≤ 0,05 (o n ≥ 100 y np ≤ 10).
  • Distribución exponencial: el tiempo de espera entre eventos sucesivos de un proceso de Poisson sigue una distribución exponencial con parámetro λ; el tiempo medio de espera es 1/λ.
  • Distribución normal: para λ suficientemente grande (aproximadamente λ ≥ 30), la cantidad (X − λ)/√λ se aproxima a una distribución normal estándar.
  • Distribución geométrica: modela el número de ensayos hasta el primer éxito en experimentos de Bernoulli independientes; su análogo continuo es la distribución exponencial, que se conecta con el proceso de Poisson a través del tiempo de espera.

Aplicaciones

  • Telecomunicaciones y redes: análisis de tasas de llegada de paquetes en enrutadores; los modelos de cola M/M/1 asumen llegadas de Poisson.
  • Ingeniería de confiabilidad: estimación del número de fallos de componentes en un intervalo dado con tasa de fallo constante.
  • Epidemiología: modelización de nuevos casos de enfermedad por semana en una región bajo una tasa de incidencia constante.
  • Seguros y gestión de riesgos: estimación de la frecuencia de siniestros y cálculo de primas para eventos poco frecuentes.
  • Física: conteo de fotones en un detector o de desintegraciones radiactivas, donde cada núcleo decae de forma independiente con probabilidad constante por unidad de tiempo.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cuándo se aplica la distribución de Poisson?

Se utiliza para contar el número de eventos independientes en un intervalo fijo de tiempo o espacio, siempre que: los eventos ocurran de forma independiente, la tasa promedio λ sea constante y no puedan ocurrir dos eventos en el mismo instante. Ejemplos clásicos son las llamadas recibidas en un centro de atención telefónica por hora, los desintegraciones radiactivas por segundo y los errores tipográficos por página.

¿Qué representa λ (lambda)?

λ es el número promedio de eventos esperados en el intervalo elegido. Si un servidor recibe en promedio 5 solicitudes por minuto, λ = 5. El intervalo puede ser cualquier unidad fija —segundos, metros, páginas— siempre que λ se ajuste proporcionalmente. Para medio minuto, λ = 2,5; para dos minutos, λ = 10.

¿Cómo se relaciona la distribución de Poisson con la distribución binomial?

La distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial cuando el número de ensayos n → ∞ y la probabilidad de éxito p → 0, manteniéndose constante el producto np = λ. En la práctica, la aproximación de Poisson es precisa cuando n ≥ 20 y p ≤ 0,05 (o n ≥ 100 y np ≤ 10). La fórmula binomial, de mayor complejidad computacional, se reemplaza por la más sencilla e^−λ λ^k / k!.

¿Por qué la media y la varianza son ambas iguales a λ?

Esta igualdad es una característica definitoria de la distribución de Poisson y se deduce de su derivación como límite de la binomial: media = np = λ, y varianza = np(1−p) → np = λ cuando p → 0. De aquí se obtiene que la desviación estándar es √λ y el coeficiente de variación es 1/√λ. Si los datos observados muestran una varianza mucho mayor que la media (sobredispersión), puede ser más adecuado un modelo binomial negativo.

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