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Generado el: 20 de julio de 2026 a las 21:34

Calculadora del ángulo entre dos vectores

Datos de entrada

a — componente x1
a — componente y0
a — componente z0
b — componente x1
b — componente y1
b — componente z0

Generado con OneCalc · https://onecalc.app/es/math/angle-between-vectors

Matemáticas

Calculadora del ángulo entre dos vectores

Halla el ángulo entre dos vectores a partir de sus componentes con la fórmula del producto escalar. Lo muestra en grados o radianes, junto con el producto escalar, los módulos y una deducción paso a paso. Funciona en 2D (deja z = 0) y 3D.

Datos de entrada

Vector a

Vector b

Resultados

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°

Detalles

Deducción paso a paso

\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{(?)(?)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \theta &= \arccos\!\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}\right) \\ &= \arccos(?) \\ &= ? \end{aligned}

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El ángulo entre dos vectores

Dos vectores que comparten un punto de partida abren un ángulo entre sí. Ese ángulo mide cuán alineados están: un ángulo pequeño indica que apuntan casi en la misma dirección, un ángulo recto que son perpendiculares y un ángulo llano que apuntan en sentidos opuestos. El producto escalar convierte esta idea geométrica en una fórmula que se calcula directamente a partir de las componentes.

La fórmula

El producto escalar de dos vectores se relaciona con el ángulo que forman mediante

a⋅b=∣a∣ ∣b∣cos⁡θ\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta

Al despejar el ángulo se obtiene la fórmula de trabajo:

θ=arccos⁡ ⁣(a⋅b∣a∣ ∣b∣)\theta = \arccos\!\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}\right)

La fracción interior es el coseno del ángulo. Como dividir por los módulos elimina las longitudes, solo importan las direcciones: escalar cualquiera de los vectores no cambia el ángulo.

Las piezas

  • Producto escalar: a⋅b=axbx+ayby+azbz\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
  • Módulo: ∣a∣=ax2+ay2+az2|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}, y análogamente para b\mathbf{b}.
  • Coseno: divide el producto escalar por el producto de los módulos. El resultado siempre cae entre −1 y 1.
  • Ángulo: aplica el arcocoseno. La respuesta queda entre 0° y 180°.

Ejemplo resuelto

Sean a = (1, 0, 0) y b = (1, 1, 0).

El producto escalar es

a⋅b=(1)(1)+(0)(1)+(0)(0)=1\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(1) + (0)(1) + (0)(0) = 1

Los módulos son

∣a∣=12+02+02=1,∣b∣=12+12+02=2|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1, \qquad |\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}

Así que el coseno del ángulo es

cos⁡θ=1(1)(2)=12≈0,7071\cos\theta = \frac{1}{(1)(\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071

y el ángulo

θ=arccos⁡ ⁣(12)=45°=π4 rad\theta = \arccos\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45° = \frac{\pi}{4}\ \text{rad}

Comprobación de ortogonalidad

El ángulo recto es el caso más fácil de detectar. Cuando el producto escalar es exactamente cero, el coseno es cero y el ángulo es 90°: los vectores son perpendiculares, u ortogonales. Para a = (1, 0) y b = (0, 1) el producto escalar es (1)(0)+(0)(1)=0(1)(0) + (0)(1) = 0, así que el ángulo entre ellos es 90°. Por eso comprobar a⋅b=0\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 es la forma habitual de verificar si dos direcciones forman un ángulo recto.

Misma dirección y direcciones opuestas

Otros dos casos de referencia acotan el intervalo:

  • Cuando los vectores apuntan en la misma dirección, el coseno es 1 y el ángulo es 0°.
  • Cuando apuntan en direcciones opuestas, el coseno es −1 y el ángulo es 180°.

Cualquier otro par se sitúa entre estos extremos, razón por la cual el ángulo entre dos vectores siempre cae en el intervalo de 0° a 180°.

Grados o radianes

El mismo ángulo se puede leer en cualquiera de las dos unidades. Los grados dividen una vuelta completa en 360 partes; los radianes miden el ángulo como longitud de arco sobre la circunferencia unidad, con una vuelta completa igual a 2π2\pi. La conversión es 180°=π rad180° = \pi\ \text{rad}, de modo que 45° es π/4\pi/4 y 90° es π/2\pi/2. Cambia la unidad en el resultado para ver la forma que tu problema requiera.

2D y 3D

La fórmula es idéntica en dos y tres dimensiones; solo cambia el número de productos de componentes. Para un problema plano en 2D, deja ambas componentes z en 0; el producto escalar, los módulos y el ángulo salen igual que si los términos z nunca hubieran existido.

Dónde aparece

  • Física: el trabajo realizado por una fuerza depende del ángulo entre la fuerza y el desplazamiento, W=∣F∣ ∣d∣cos⁡θW = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta.
  • Gráficos por computadora: el ángulo entre la normal de una superficie y la dirección de la luz determina cuán brillante se ilumina.
  • Navegación y geometría: hallar la diferencia de rumbo entre dos direcciones, o el ángulo de un vértice a partir de sus vectores de arista.
  • Aprendizaje automático: la similitud del coseno entre vectores de características es exactamente el coseno del ángulo que se calcula aquí.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cómo se halla el ángulo entre dos vectores?

Se calcula el producto escalar a · b, se divide por el producto de los módulos |a| |b| para obtener el coseno del ángulo y luego se aplica el arcocoseno: θ = arccos((a · b) / (|a| |b|)). Para a = (1, 0) y b = (1, 1): a · b = 1, |a| = 1, |b| = √2, así que cos θ = 1/√2 y θ = 45°.

¿Funciona tanto para vectores en 2D como en 3D?

Sí. La fórmula del producto escalar es la misma en cualquier dimensión. Para un problema en 2D, deja ambas componentes z en 0 y el resultado no cambia. En 3D, rellena las tres componentes de cada vector.

¿Cómo sé si dos vectores son perpendiculares?

Dos vectores no nulos son perpendiculares (ortogonales) exactamente cuando su producto escalar es cero, lo que hace que el ángulo sea 90°. Por ejemplo, (1, 0) y (0, 1) tienen producto escalar 0, así que el ángulo entre ellos es 90°.

¿En qué intervalo puede estar el ángulo?

El ángulo entre dos vectores va de 0° a 180° (de 0 a π radianes). Es 0° cuando los vectores apuntan en la misma dirección, 90° cuando son perpendiculares y 180° cuando apuntan en direcciones opuestas. La fórmula siempre devuelve el ángulo menor y no negativo entre las dos direcciones.

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