Criterios de divisibilidad
Datos de entrada
| Número entero | 12.345 |
|---|
Criterios de divisibilidad
Comprueba si un número entero es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11 aplicando los criterios clásicos de divisibilidad: suma de cifras, últimos dígitos y suma alternada.
La divisibilidad es uno de los conceptos fundamentales de la teoría de números. Un entero n es divisible entre un entero no nulo d cuando la división n ÷ d no produce resto — o de manera equivalente, cuando existe un entero k tal que n = d × k. Esta calculadora aplica los criterios clásicos de divisibilidad para cada divisor del 2 al 11, determinando si el entero introducido satisface cada condición.
Criterios por divisor
Entre 2
Un número es divisible entre 2 si y solo si su última cifra es par: 0, 2, 4, 6 u 8. La razón es que 10 ≡ 0 (mod 2), de modo que todas las posiciones superiores a las unidades aportan un múltiplo de 2; solo importa la cifra de las unidades.
Entre 3
Se suman todas las cifras del número. Si la suma es divisible entre 3, el número original también lo es. Por ejemplo, 12 345 tiene suma de cifras 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, y 15 ÷ 3 = 5, luego 12 345 es divisible entre 3. El criterio funciona porque 10 ≡ 1 (mod 3), lo que hace que cada cifra contribuya al total con su valor nominal módulo 3.
Entre 4
Basta examinar las dos últimas cifras. Si el número de dos cifras que forman es divisible entre 4, también lo es el número completo. Para 12 345, las dos últimas cifras forman 45; 45 ÷ 4 = 11,25, luego 12 345 no es divisible entre 4. El criterio se apoya en que 100 = 4 × 25 es exactamente divisible entre 4, por lo que las cifras a partir de las centenas no aportan resto.
Entre 5
Un número es divisible entre 5 si su última cifra es 0 o 5. El razonamiento es análogo al del criterio del 2: como 10 ≡ 0 (mod 5), solo la cifra de las unidades determina el resto.
Entre 6
Un número es divisible entre 6 si y solo si es divisible entre 2 y entre 3 simultáneamente. Dado que 6 = 2 × 3 y mcd(2, 3) = 1, las dos condiciones son independientes y deben cumplirse a la vez.
Entre 7
No existe un truco de una sola etapa para el 7, pero hay un método iterativo manejable: se duplica la última cifra, se resta del número formado por las cifras restantes y se repite el proceso hasta obtener un valor reconocible. Si el resultado final es 0 o múltiplo de 7, el número original es divisible entre 7. Con 343: el doble de la última cifra (3 × 2 = 6); 34 − 6 = 28; como 28 ÷ 7 = 4, el número 343 es divisible entre 7. Esta calculadora evalúa el módulo directamente, lo que hace innecesario el proceso iterativo.
Entre 8
Se consideran únicamente las tres últimas cifras. Si el número que forman es divisible entre 8, también lo es el número completo, puesto que 1000 = 8 × 125 es exactamente divisible entre 8. Para 12 345, las tres últimas cifras forman 345; 345 ÷ 8 = 43,125, luego 12 345 no es divisible entre 8.
Entre 9
Se aplica el criterio de la suma de cifras, comprobando ahora la divisibilidad entre 9. Para 12 345, la suma de cifras es 15; 15 ÷ 9 = 1,67, luego 12 345 no es divisible entre 9. El criterio funciona por la misma razón que el del 3: 10 ≡ 1 (mod 9).
Entre 10
Un número es divisible entre 10 si y solo si su última cifra es 0. Este criterio combina los del 2 y el 5.
Entre 11
Se calcula la suma alternada de cifras partiendo desde la derecha: se resta la segunda cifra a la primera, se suma la tercera, se resta la cuarta, y así sucesivamente. Si el resultado es 0 o múltiplo de 11, el número es divisible entre 11. Para 12 345, empezando por la derecha: 5 − 4 + 3 − 2 + 1 = 3; como 3 no es divisible entre 11, el número 12 345 tampoco lo es. La razón subyacente es que 10 ≡ −1 (mod 11), de modo que cada cifra contribuye alternativamente con +1 y −1 veces su valor nominal.
Ejemplo resuelto
¿Es 55 440 divisible entre cada uno de los divisores del 2 al 11?
- Entre 2: última cifra 0 → sí
- Entre 3: suma de cifras 5 + 5 + 4 + 4 + 0 = 18; 18 ÷ 3 = 6 → sí
- Entre 4: últimas dos cifras 40; 40 ÷ 4 = 10 → sí
- Entre 5: última cifra 0 → sí
- Entre 6: divisible entre 2 y entre 3 → sí
- Entre 7: 55 440 ÷ 7 = 7 920 exacto → sí
- Entre 8: últimas tres cifras 440; 440 ÷ 8 = 55 → sí
- Entre 9: suma de cifras 18; 18 ÷ 9 = 2 → sí
- Entre 10: última cifra 0 → sí
- Entre 11: suma alternada 0 − 4 + 4 − 5 + 5 = 0 → sí
El número 55 440 = 2⁴ × 3² × 5 × 7 × 11 es divisible entre los diez divisores del 2 al 11.
El caso del cero
El cero es divisible entre todo entero no nulo. La definición exige un entero k tal que 0 = d × k; basta tomar k = 0, lo que es válido para cualquier d. Esta calculadora devuelve «divisible» para n = 0 en los diez criterios.
Límite de precisión
La calculadora emplea aritmética de punto flotante de 64 bits, que representa exactamente los enteros hasta 2⁵³ ≈ 9 × 10¹⁵. Para enteros cuyo valor absoluto supere 10¹⁵, los errores de redondeo pueden producir resultados incorrectos. Para problemas de divisibilidad con números de gran magnitud se recomienda utilizar una biblioteca de aritmética de precisión arbitraria.
Preguntas frecuentes (FAQ)
¿Por qué funciona la regla de la suma de cifras para 3 y 9?
Toda potencia de 10 deja resto 1 al dividirse entre 9 (y también entre 3): 10 ≡ 1, 100 ≡ 1, 1000 ≡ 1, y así sucesivamente, en módulo 9. Por tanto, el resto de dividir un número entre 9 coincide con el resto de dividir la suma de sus cifras entre 9. Por ejemplo, 12 345 tiene suma de cifras 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, y 15 mod 9 = 6, luego 12 345 no es divisible entre 9. El mismo razonamiento se aplica en módulo 3, ya que 10 ≡ 1 (mod 3).
¿Cuál es el criterio de divisibilidad entre 7?
El método iterativo más práctico para 7: se duplica la última cifra, se resta del número formado por las cifras restantes y se repite el proceso hasta obtener un número reconocible. Si el resultado final es 0 o múltiplo de 7, el número original es divisible entre 7. Por ejemplo, con 343: última cifra 3, el doble es 6; 34 − 6 = 28; como 28 ÷ 7 = 4, el número 343 es divisible entre 7. Esta calculadora calcula el resto directamente, lo que resulta más rápido que la manipulación de cifras para números grandes.
¿El cero es divisible entre todos los números?
Según la definición estándar, un entero a es divisible entre un entero no nulo d cuando existe un entero k tal que a = d × k. Para a = 0 basta elegir k = 0: la igualdad 0 = d × 0 se cumple para cualquier d no nulo. Por consiguiente, el 0 es divisible entre todo entero no nulo. Esta calculadora devuelve «divisible» para n = 0 en los diez criterios.
¿Existen criterios de divisibilidad para primos mayores que 11?
Sí, aunque son progresivamente menos cómodos. Para 13: se multiplica la última cifra por 4 y se suma al número restante; se repite. Para 17: se multiplica por 5 y se resta; se repite. Para 19: se multiplica por 2 y se suma; se repite. Estos criterios se apoyan en el inverso multiplicativo de 10 módulo el primo correspondiente, el mismo principio que sustenta los criterios de 7 y 11. En la práctica, la división directa o una calculadora resulta más rápida que la manipulación de cifras para primos superiores a 13.