Última actualización: 2026-06-04

Qué es la potenciación

La potenciación expresa la multiplicación repetida de un número por sí mismo. La expresión $b^n$ indica que la base $b$ se multiplica por sí misma $n$ veces:

El número $b$ recibe el nombre de base y $n$ se denomina exponente (también llamado potencia o índice). Por ejemplo, $2^{10} = 1024$ porque 2 se multiplica por sí mismo 10 veces.

Las leyes fundamentales de los exponentes

Estas seis reglas rigen el comportamiento de los exponentes bajo las operaciones aritméticas. Cada una se deduce directamente de la definición de multiplicación repetida.

Regla del producto — se suman los exponentes al multiplicar la misma base: $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$

Regla del cociente — se restan los exponentes al dividir: $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n} \quad (b \neq 0)$

Potencia de una potencia — se multiplican los exponentes al elevar una potencia a otra potencia: $(b^m)^n = b^{mn}$

Potencia de un producto — el exponente se distribuye sobre cada factor: $(ab)^n = a^n \cdot b^n$

Exponente cero — cualquier base distinta de cero elevada a 0 es igual a 1: $b^0 = 1 \quad (b \neq 0)$

Exponente negativo — un exponente negativo indica el recíproco: $b^{-n} = \frac{1}{b^n} \quad (b \neq 0)$

Exponentes negativos

Un exponente negativo equivale a invertir la potencia correspondiente. Por ejemplo:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125$

Esto se deduce de la regla del cociente: $b^0 / b^n = 1 / b^n = b^{-n}$. Los exponentes negativos aparecen en la notación científica de números muy pequeños ($10^{-9} = \text{1 nanómetro}$) y en el análisis dimensional ($\text{m s}^{-1}$ para la velocidad).

Exponentes fraccionarios y raíces

Un exponente fraccionario representa una raíz. La regla general es:

$b^{m/n} = \sqrt[n]{b^m} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

Casos frecuentes:

Para que el resultado sea un número real, la base debe ser no negativa, salvo que el exponente simplifique a una fracción con denominador impar para bases negativas. Los resultados complejos están fuera del alcance de la aritmética estándar.

El recíproco

El recíproco de $b^n$ es $b^{-n} = 1/b^n$. Se cumple que $b^n \cdot b^{-n} = b^0 = 1$. El recíproco no está definido cuando $b^n = 0$ (es decir, cuando $b = 0$ y $n > 0$).

La convención 0⁰

Cuando $b = 0$ y $n = 0$, la expresión $0^0$ es una forma indeterminada en el análisis matemático (porque $0^x \to 0$ y $x^0 \to 1$ por caminos distintos). En matemática discreta, combinatoria y programación, $0^0$ se define universalmente como 1. Esta elección mantiene la coherencia de identidades combinatorias como el teorema del binomio y las series de potencias en los casos límite. Esta calculadora sigue la convención $0^0 = 1$.

Ejemplo resuelto

Datos: base $b = 3$, exponente $n = 4$

$b^n = 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

Recíproco:

$b^{-n} = 3^{-4} = \frac{1}{81} \approx 0{,}012346$

Verificación mediante la regla del producto:

$3^4 \cdot 3^{-4} = 3^{4 + (-4)} = 3^0 = 1 \checkmark$

Aplicaciones