Última actualización: 2026-05-19

El módulo de un vector

El módulo de un vector es su longitud: la distancia en línea recta desde el origen hasta el extremo de la flecha. Para un vector v = (v₁, v₂, …, vₙ) en un espacio n-dimensional, la norma euclidiana es:

$|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}$

Esta calculadora acepta cualquier número de componentes separadas por comas (por ejemplo, 3, 4 para 2D o 1, 2, 3 para 3D) y devuelve el módulo, el número de dimensiones y el vector unitario que apunta en la misma dirección.

Por qué funciona la fórmula

La fórmula es una generalización del teorema de Pitágoras. En 2D, un vector (a, b) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos a y b, luego $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$. En 3D, un vector (a, b, c) es la diagonal espacial de un paralelepípedo, lo que da $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. El razonamiento se extiende sin cambios a cualquier número de dimensiones: se elevan al cuadrado todas las componentes, se suman y se extrae la raíz cuadrada.

Ejemplo resuelto

Problema: hallar el módulo y el vector unitario de v = (3, 4, 12).

Paso 1 — elevar al cuadrado y sumar las componentes:

$3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169$

Paso 2 — extraer la raíz cuadrada:

$|\mathbf{v}| = \sqrt{169} = 13$

Paso 3 — dividir cada componente entre el módulo para obtener el vector unitario:

$\hat{\mathbf{v}} = \left(\frac{3}{13},\ \frac{4}{13},\ \frac{12}{13}\right) \approx (0{,}230769;\ 0{,}307692;\ 0{,}923077)$

Interpretación: el vector (3, 4, 12) tiene una longitud de 13 unidades. El vector unitario indica solo la dirección: por cada unidad recorrida en esa dirección, se avanzan aproximadamente 0,23 en el primer eje, 0,31 en el segundo y 0,92 en el tercero.

El vector unitario

Un vector unitario tiene módulo exactamente igual a 1. Conserva la dirección del vector original pero elimina su escala. Para calcularlo, se divide cada componente entre |v|:

$\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \left(\frac{v_1}{|\mathbf{v}|},\ \frac{v_2}{|\mathbf{v}|},\ \ldots,\ \frac{v_n}{|\mathbf{v}|}\right)$

Los vectores unitarios aparecen en multitud de disciplinas:

• Física: dirección de una fuerza o de la velocidad; normales a superficies.
• Gráficos por ordenador: cálculo de iluminación, orientación de la cámara.
• Aprendizaje automático: similitud coseno, normalización de vectores de características.
• Navegación: rumbo a partir de un vector de desplazamiento.

Si el vector de entrada es el vector nulo (todas las componentes son cero), su módulo es 0 y el vector unitario no existe: la dirección es indeterminada.

Otras normas vectoriales

La norma euclidiana (L²) es la más extendida, pero en ciertos campos se emplean otras:

Norma	Fórmula	También llamada	Aplicación habitual
L¹	Σ |vᵢ|	Manhattan / taxicab	Modelos dispersos (LASSO), distancias en cuadrículas
L²	$\sqrt{\sum v_i^2}$	Euclidiana	Geometría, física, similitud coseno
L∞	máx |vᵢ|	Chebyshev	Distancia en ajedrez, teoría de control

Esta calculadora computa la norma L² (euclidiana), que es la interpretación estándar de «longitud» en la mayoría de contextos científicos e ingenieriles.

Aplicaciones frecuentes

• Física: calcular la rapidez (módulo del vector velocidad) o la magnitud de una fuerza a partir de sus componentes.
• Gráficos 3D: normalizar vectores normales antes de los cálculos de iluminación.
• Ciencia de datos: normalizar vectores de características en L2 antes de buscar similitud coseno.
• Robótica: determinar el alcance de un efector final a partir de vectores de desplazamiento articular.
• GPS / cartografía: convertir desplazamientos (ΔEste, ΔNorte, ΔAltura) en distancia total recorrida.

Uso de la calculadora

• Introduce las componentes separadas por comas: 3, 4 o 1, 2, 3 o 0.5, -1.2, 0.8, 2.0.
• Las componentes negativas son perfectamente válidas: al elevar al cuadrado desaparece el signo.
• Las componentes decimales también funcionan: 1.5, 2.5 da |v| ≈ 2,915476.
• Una sola componente (por ejemplo, 5) devuelve módulo 5 y vector unitario (1), coherente con la fórmula general.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es el módulo de un vector?

El módulo de un vector (también llamado longitud o norma) es la distancia en línea recta desde el origen hasta el extremo de la flecha. Para un vector v = (v₁, v₂, …, vₙ), el módulo euclidiano es |v| = √(v₁² + v₂² + ⋯ + vₙ²). Esta fórmula generaliza el teorema de Pitágoras a cualquier número de dimensiones. Por ejemplo, el módulo de (3, 4) es √(9 + 16) = 5.

¿Qué es un vector unitario?

Un vector unitario es aquel cuyo módulo vale exactamente 1 y que apunta en la misma dirección que el vector original. Se obtiene dividiendo cada componente entre el módulo: v̂ = v / |v| = (v₁/|v|, v₂/|v|, …, vₙ/|v|). Los vectores unitarios se usan en todas las situaciones donde importa solo la dirección: normales de superficie en gráficos 3D, dirección de fuerzas en física o gradientes normalizados en aprendizaje automático.

¿Cómo se aplica la fórmula del módulo en 3D y dimensiones superiores?

La fórmula |v| = √(Σ vᵢ²) es válida para cualquier número de dimensiones. Para un vector tridimensional (a, b, c) da √(a² + b² + c²), que corresponde a la diagonal espacial de un paralelepípedo. En cuatro o más dimensiones la geometría ya no es intuible, pero el álgebra es idéntica: se suman los cuadrados de todas las componentes y se extrae la raíz cuadrada. Esta calculadora acepta cualquier número de valores separados por comas.

¿Qué son las normas L¹ y L∞ y para qué se usan?

La norma euclidiana (L²) es la más habitual, pero existen otras. La norma L¹ (distancia de Manhattan) suma los valores absolutos de las componentes: ‖v‖₁ = |v₁| + |v₂| + ⋯ Se usa en regularización LASSO y para medir distancias en cuadrículas urbanas.

La norma L∞ (distancia de Chebyshev) toma el mayor valor absoluto: ‖v‖∞ = máx(|v₁|, …, |vₙ|). Aparece en problemas de movimiento del rey en ajedrez y en ciertos análisis de control. En la mayoría de contextos científicos, la norma estándar es la euclidiana.