Última actualización: 2026-05-18

La elipse

Una elipse es una curva cerrada definida por dos puntos fijos llamados focos: para cualquier punto de la curva, la suma de sus distancias a ambos focos es constante. Cuando los dos focos coinciden, la elipse se convierte en una circunferencia — la circunferencia es, por tanto, un caso especial de la elipse.

Toda elipse tiene dos ejes de simetría:

• Eje mayor: el diámetro más largo, que pasa por ambos focos. Su mitad es el semieje mayor a.
• Eje menor: el diámetro más corto, perpendicular al eje mayor. Su mitad es el semieje menor b.

Por convenio, a ≥ b > 0.

Fórmula del área

El área de una elipse es:

A = π × a × b

Esta fórmula exacta fue demostrada por Arquímedes en su obra Medida del círculo, usando el método de exhausción — una forma primitiva de la integración. Para a = b = r se obtiene el área del círculo πr².

Ejemplo: una elipse con a = 6 cm y b = 4 cm tiene:

A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75,40 cm²

Perímetro (aproximación)

A diferencia del área, no existe una fórmula cerrada sencilla para el perímetro de una elipse. El valor exacto requiere una integral elíptica que no puede expresarse con funciones elementales.

Esta calculadora utiliza la primera aproximación de Ramanujan (1914), muy precisa:

$P \approx \pi \times [3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}]$

Para a = b = r (circunferencia):

$P = \pi \times [6r - 4r] = 2\pi r$ (exacto)

Para elipses típicas el error es inferior al 0,0001 %.

Ejemplo resuelto

Elipse con a = 6 cm y b = 4 cm:

$P \approx \pi \times [3(6 + 4) - \sqrt{(3 \times 6 + 4)(6 + 3 \times 4)}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{22 \times 18}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{396}]$

= π × [30 − 19,90...]
≈ π × 10,10
≈ 31,73 cm

Excentricidad

La excentricidad e mide cuánto se aleja la elipse de ser un círculo:

$e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$

Forma	Excentricidad
Círculo	e = 0
Ligeramente oval	e ≈ 0,1–0,3
Moderadamente alargada	e ≈ 0,5–0,7
Muy alargada	e → 1

La excentricidad de una elipse siempre está entre 0 (inclusive) y 1 (exclusive).

Ejemplos reales

Las órbitas planetarias son elipses con el Sol en un foco (primera ley de Kepler):

Cuerpo	Semieje mayor	Excentricidad
Órbita terrestre	149,6 millones km	≈ 0,017
Órbita de Marte	227,9 millones km	≈ 0,093
Cometa Halley	2.667,9 millones km	≈ 0,967

La órbita de la Tierra es casi circular (e ≈ 0,017). Las estaciones se deben a la inclinación del eje terrestre, no a la variación de distancia al Sol.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cuál es la fórmula para calcular el área de una elipse?

El área de una elipse es A = π × a × b, donde a es el semieje mayor y b es el semieje menor. Esta fórmula exacta fue demostrada por Arquímedes. Para a = 6 cm y b = 4 cm: A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75,40 cm². Cuando a = b = r, se reduce al área del círculo πr².

¿Existe una fórmula exacta para el perímetro de una elipse?

No existe una fórmula cerrada sencilla para el perímetro de una elipse: el valor exacto requiere una integral elíptica. En la práctica se usa la primera aproximación de Ramanujan: P ≈ π × [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]. Para a = b (circunferencia) da exactamente 2πr, y el error para cualquier elipse es menor del 0,0001 %.

¿Qué indica la excentricidad de una elipse?

La excentricidad e = √(1 − (b/a)²) mide cuánto se aleja la elipse de ser un círculo. e = 0 corresponde a un círculo perfecto; cuanto más se acerca e a 1, más alargada es la elipse. La órbita terrestre tiene e ≈ 0,017 (casi circular) y el cometa Halley e ≈ 0,967 (muy elongado).

¿En qué se diferencia una elipse de un óvalo?

Una elipse es una curva matemáticamente precisa: la suma de las distancias de cualquier punto de la curva a sus dos focos es constante. «Óvalo» es un término informal para cualquier curva cerrada, suave y redondeada. Los huevos son óvalos pero no elipses porque son asimétricos. Toda elipse es un óvalo, pero no todo óvalo es una elipse.