Última actualización: 2026-07-02

La definición de parábola por foco y directriz

Una parábola es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo —el foco— que de una recta fija —la directriz—. Esa única condición de equilibrio es la que da a la parábola su forma. El punto de retorno de la curva, el vértice, queda exactamente a la mitad entre el foco y la directriz.

Para una parábola que abre verticalmente (hacia arriba o hacia abajo) con vértice $(h, k)$, la forma canónica es:

$(x - h)^2 = 4p(y - k)$

El número $p$ es la distancia focal: la distancia con signo del vértice al foco. De ella se deducen todas las características de la parábola:

$\text{foco} = (h,\ k + p) \qquad \text{directriz: } y = k - p \qquad \text{eje: } x = h$

Esta calculadora toma el vértice junto con $p$ o el coeficiente principal $a$, y devuelve el foco, la directriz, el eje de simetría, la distancia focal y el lado recto, con el desarrollo paso a paso.

Distancia focal, foco y directriz

Como el vértice está a la mitad entre el foco y la directriz, ambos quedan a una distancia $|p|$ del vértice, en lados opuestos. Al avanzar $p$ unidades por el eje $x = h$ desde el vértice se llega al foco; al avanzar $p$ en sentido contrario se llega a la directriz.

$\text{foco} = (h,\ k + p) \qquad \text{directriz: } y = k - p$

El signo de $p$ fija hacia dónde abre la parábola. Si $p > 0$ abre hacia arriba y el foco queda por encima del vértice; si $p < 0$ abre hacia abajo y el foco queda por debajo.

El lado recto

El lado recto es la cuerda que pasa por el foco perpendicular al eje de simetría: el «ancho» de la parábola medido a la altura del foco. Su longitud es:

$L = |4p|$

Los extremos del lado recto son $(h - 2p,\ k + p)$ y $(h + 2p,\ k + p)$, una forma rápida de trazar dos puntos adicionales a la altura del foco.

La forma con coeficiente

Muchos libros de texto escriben una parábola vertical como $y = a(x - h)^2 + k$. Es la misma curva, solo despejada para $y$. Al compararla con la forma canónica se ve cómo se relacionan el coeficiente principal $a$ y la distancia focal $p$:

$a = \frac{1}{4p} \qquad \Longleftrightarrow \qquad p = \frac{1}{4a}$

Un $|a|$ grande da una parábola estrecha con distancia focal corta; un $|a|$ pequeño da una parábola ancha con el foco lejos del vértice. Como $a$ y $p$ siempre tienen el mismo signo, cualquiera de los dos indica hacia dónde abre.

Ejemplo resuelto

Problema: Halla el foco, la directriz, el eje de simetría y el lado recto de $(x - 1)^2 = 8(y + 2)$.

Paso 1 — leer el vértice. Al comparar con $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ se obtiene $h = 1$ y $k = -2$, así que el vértice es $(1, -2)$.

Paso 2 — hallar la distancia focal. El coeficiente de la derecha es $4p = 8$, de modo que:

$p = \frac{8}{4} = 2$

Paso 3 — hallar el foco. Avanza $p = 2$ hacia arriba por el eje desde el vértice:

$\text{foco} = (h,\ k + p) = (1,\ -2 + 2) = (1,\ 0)$

Paso 4 — hallar la directriz. Avanza $p = 2$ en sentido contrario:

$y = k - p = -2 - 2 = -4$

Paso 5 — eje y lado recto.

$\text{eje: } x = h = 1 \qquad L = |4p| = |4 \cdot 2| = 8$

Así, la parábola abre hacia arriba con foco $(1, 0)$, directriz $y = -4$, eje $x = 1$ y un lado recto de longitud $8$. En forma con coeficiente, la misma curva es $y = \tfrac{1}{8}(x - 1)^2 - 2$, ya que $a = \tfrac{1}{4p} = \tfrac{1}{8}$.

Leer la gráfica

La gráfica encuadra el vértice $V$, el foco $F$ y la directriz $d$ juntos para que se vea el equilibrio que define la curva: toma cualquier punto de la parábola y su distancia hacia abajo a la directriz es igual a su distancia al foco. El vértice siempre cae a la mitad entre $F$ y $d$, y toda la figura es simétrica respecto al eje $x = h$.

Notas y limitaciones

Esta calculadora trata parábolas verticales de la forma $(x - h)^2 = 4p(y - k)$, que abren hacia arriba o hacia abajo. Las parábolas horizontales $(y - k)^2 = 4p(x - h)$, que abren a izquierda o derecha, intercambian los papeles de $x$ e $y$: su eje es horizontal, el foco está en $(h + p, k)$ y la directriz es la recta vertical $x = h - p$. La distancia focal $p$ debe ser distinta de cero: en $p = 0$ la curva degenera y no hay parábola.