Última actualización: 2026-05-19

La ley de cosenos

La ley de cosenos relaciona los tres lados de un triángulo con el coseno de uno de sus ángulos. Para un triángulo con lados a, b, c y el ángulo C opuesto al lado c, la fórmula es:

c² = a² + b² − 2ab cos(C)

Esta ecuación cubre dos problemas clásicos de resolución de triángulos:

• SAS (Lado-Ángulo-Lado): Se conocen dos lados y el ángulo que los une. La ley de cosenos da el tercer lado.

• SSS (Lado-Lado-Lado): Se conocen los tres lados. Despejando la fórmula tres veces se obtienen los tres ángulos:

  A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc))
  B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac))
  C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab))

Uso de la calculadora

Modo SAS — selecciona "SAS — Calcular lado c", introduce los lados a y b y el ángulo C entre ellos (en grados). La calculadora devuelve el lado c.

Modo SSS — selecciona "SSS — Calcular ángulos", introduce los tres lados a, b, c. La calculadora devuelve los tres ángulos A, B, C en grados.

Ejemplo resuelto: SAS

Un topógrafo mide dos lados de una parcela triangular: 83 m y 112 m, con un ángulo entre ellos de 54°. ¿Cuánto mide el tercer lado?

• a = 83, b = 112, C = 54°
• c² = 83² + 112² − 2 × 83 × 112 × cos 54°
• c² = 6 889 + 12 544 − 18 592 × 0,5878
• c² ≈ 8 502
• c ≈ 92,2 m

Ejemplo resuelto: SSS

Un jardín triangular tiene lados de 5 m, 7 m y 6 m. ¿Cuáles son los ángulos en cada esquina?

• A = arccos((49 + 36 − 25) / (2 × 7 × 6)) = arccos(60/84) ≈ 44,4°
• B = arccos((25 + 36 − 49) / (2 × 5 × 6)) = arccos(12/60) ≈ 78,5°
• C = arccos((25 + 49 − 36) / (2 × 5 × 7)) = arccos(38/70) ≈ 57,1°

Verificación: 44,4° + 78,5° + 57,1° = 180°. ✓

Relación con el teorema de Pitágoras

El Calculadora del Teorema de Pitágoras (c² = a² + b²) es un caso especial de la ley de cosenos. Cuando C = 90°, cos 90° = 0 y el término 2ab cos C desaparece.

Para otros ángulos:

• Si C < 90° (agudo): cos C > 0, el término restado acorta c.
• Si C > 90° (obtuso): cos C < 0, el término se suma y c es mayor.

Esta intuición proviene de la definición del producto escalar, que mide la proyección de un vector sobre otro.

Ley de cosenos vs. ley de senos

Información disponible	Usar
Dos lados + ángulo comprendido (SAS)	Ley de cosenos
Los tres lados (SSS)	Ley de cosenos
Dos ángulos + un lado (AAS / ASA)	Ley de senos
Dos lados + ángulo no comprendido (SSA)	Ley de senos (caso ambiguo posible)

La ley de senos es más sencilla cuando se dispone de un par lado-ángulo opuesto. La ley de cosenos no presenta caso ambiguo y es la opción segura para SAS y SSS.

Desigualdad triangular

Para que tres longitudes formen un triángulo, cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos. Si eso no se cumple (p. ej., lados 1, 2 y 10), el argumento del arcocoseno cae fuera de [−1, 1] y la calculadora muestra un error. Verificación rápida: ordena los lados de menor a mayor y comprueba que la suma de los dos menores supera al mayor.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cómo se relaciona la ley de cosenos con el teorema de Pitágoras?

La ley de cosenos c² = a² + b² − 2ab cos C generaliza el teorema de Pitágoras a cualquier triángulo. Cuando C = 90°, cos 90° = 0 y la fórmula se reduce a c² = a² + b². Si C < 90° el término 2ab cos C es positivo y c es menor; si C > 90°, cos C es negativo y c resulta mayor.

¿Cuándo se usa la ley de cosenos en vez de la ley de senos?

La ley de cosenos se aplica en los casos SAS (dos lados y el ángulo que los une) o SSS (los tres lados). La ley de senos es más sencilla cuando se dispone de un par lado-ángulo opuesto, pero en el caso SSA puede dar dos soluciones (caso ambiguo). La ley de cosenos siempre produce una respuesta única.

¿Qué se puede calcular en el modo SAS?

Con dos lados y el ángulo entre ellos se obtiene el tercer lado: c = √(a² + b² − 2ab cos C). Ejemplo: a = 5, b = 7, C = 60° → c = √39 ≈ 6,245. Con los tres lados conocidos es posible pasar al modo SSS para hallar los ángulos restantes.

¿Qué ocurre si los tres lados no forman un triángulo válido?

La desigualdad triangular exige que cada lado sea menor que la suma de los otros dos. Si no se cumple (p. ej., lados 1, 2 y 10), el argumento del arcocoseno cae fuera de [−1, 1] y la calculadora muestra un error. Verificación rápida: ordena los lados y comprueba que la suma de los dos menores supera al mayor.