Última actualización: 2026-06-05

Definición de semiesfera

Una semiesfera es la mitad de una esfera obtenida al cortarla por un plano que pasa por su centro (plano diametral). Está delimitada por una base circular plana y una superficie curva exterior en forma de cúpula. El radio de la base coincide con el radio de la esfera original. Ejemplos cotidianos incluyen cuencos, cúpulas arquitectónicas e iglús.

Fórmulas

Para una semiesfera de radio r:

Magnitud	Fórmula	Observación
Volumen	$V = \dfrac{2}{3}\pi r^3$	Mitad del volumen de la esfera
Área lateral	$A_c = 2\pi r^2$	Solo la cúpula, sin la base
Área de la base	$A_b = \pi r^2$	Disco circular plano
Área total	$A = 3\pi r^2$	Cúpula + base

Derivación de las fórmulas

Volumen

El volumen de una esfera de radio $r$ es $\dfrac{4}{3}\pi r^3$. La semiesfera es exactamente la mitad:

$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$

El mismo resultado se obtiene integrando secciones circulares de radio $\sqrt{r^2 - h^2}$ desde $h = 0$ hasta $h = r$:

$V = \int_0^r \pi(r^2 - h^2)\,dh = \pi\!\left[r^2 h - \frac{h^3}{3}\right]_0^r = \frac{2}{3}\pi r^3$

Área lateral

La superficie total de la esfera es $4\pi r^2$. La cúpula ocupa la mitad:

$A_c = \frac{1}{2} \cdot 4\pi r^2 = 2\pi r^2$

Área de la base y área total

La base es un círculo de radio $r$:

$A_b = \pi r^2$

El área total suma cúpula y base:

$A = A_c + A_b = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$

Semiesfera frente a esfera completa

Magnitud	Semiesfera	Esfera	Proporción
Volumen	$\dfrac{2}{3}\pi r^3$	$\dfrac{4}{3}\pi r^3$	1/2
Superficie curva	$2\pi r^2$	$4\pi r^2$	1/2
Superficie total	$3\pi r^2$	$4\pi r^2$	3/4

El volumen y el área lateral son la mitad de los valores esféricos. Sin embargo, el área total es tres cuartas partes de la superficie esférica, no la mitad, porque la base plana agrega $\pi r^2$. Este es el error más frecuente al dividir un cálculo esférico entre dos.

Ejemplo numérico

Un cuenco semiesférico de radio 10 cm (0,10 m):

Volumen: $V = \frac{2}{3}\pi (0{,}10)^3 = \frac{2}{3}\pi \times 0{,}001 \approx 0{,}002094 \text{ m}^3 = 2{.}094 \text{ cm}^3$

Área lateral: $A_c = 2\pi (0{,}10)^2 = 2\pi \times 0{,}01 \approx 0{,}0628 \text{ m}^2 = 628{,}3 \text{ cm}^2$

Área de la base: $A_b = \pi (0{,}10)^2 = \pi \times 0{,}01 \approx 0{,}0314 \text{ m}^2 = 314{,}2 \text{ cm}^2$

Área total: $A = 3\pi (0{,}10)^2 = 3\pi \times 0{,}01 \approx 0{,}0942 \text{ m}^2 = 942{,}5 \text{ cm}^2$

Escalado con el radio

El volumen crece con el cubo del radio y el área con el cuadrado:

Factor del radio	Factor del volumen	Factor del área
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

Esta relación es fundamental en el diseño de depósitos y cúpulas: duplicar el radio cuadruplica la superficie pero multiplica el volumen por ocho.

Véase también: volumen de la esfera (Calculadora de volumen y área de la esfera) y volumen del cono (Calculadora de cono: volumen y superficie).

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cuál es la fórmula del volumen de una semiesfera?

El volumen de una semiesfera es V = (2/3)πr³, exactamente la mitad del volumen de una esfera completa (4/3)πr³. Para r = 5 cm: r³ = (0,05 m)³ = 0,000125 m³, por lo que V = (2/3) × π × 0,000125 ≈ 0,000262 m³ ≈ 261,8 cm³.

¿El área total de una semiesfera incluye la base plana?

Sí. Área total = área lateral (2πr²) + área de la base (πr²) = 3πr². Para obtener solo la cúpula se usa 2πr². Para r = 5 cm: lateral ≈ 157,1 cm², base ≈ 78,5 cm², total ≈ 235,6 cm².

¿En qué se diferencia una semiesfera de una esfera completa?

Una semiesfera tiene la mitad del volumen de una esfera del mismo radio (V = (2/3)πr³ frente a (4/3)πr³). Su área lateral (2πr²) también es la mitad de la superficie esférica (4πr²). Sin embargo, el área total (3πr²) equivale a tres cuartas partes de la superficie de la esfera, ya que la base plana añade πr².

¿Cómo se calcula solo la superficie curva de una semiesfera?

El área lateral (cúpula) es A_c = 2πr², sin incluir la base. Para r = 5 cm: A_c = 2 × π × 25 ≈ 157,1 cm². Sumando la base (πr² ≈ 78,5 cm²), el área total resulta 3πr² ≈ 235,6 cm².