Última actualización: 2026-05-19

Definición

La tasa de cambio promedio de una función f entre dos valores de x mide cuánto varía el resultado por cada unidad de entrada. Dados dos puntos (x₁, f(x₁)) y (x₂, f(x₂)), la fórmula es:

$\text{TCP} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta f}{\Delta x}$

Esta expresión coincide con la pendiente de la recta secante: la línea recta que pasa por los dos puntos de la curva. A diferencia de la pendiente de una recta (que es la misma en todo su trazado), la tasa de cambio promedio depende del intervalo elegido: un tramo más empinado o más plano de la curva da un resultado distinto.

Ejemplo resuelto

Una pelota se lanza hacia arriba y su altura (en metros) en el instante t es h(t) = −5t² + 20t. ¿Cuál es la tasa de cambio promedio de la altura entre t = 1 s y t = 3 s?

Paso 1 — evaluar la función en cada extremo del intervalo:

$h(1) = -5(1)^2 + 20(1) = 15 \text{ m}$

$h(3) = -5(3)^2 + 20(3) = -45 + 60 = 15 \text{ m}$

Paso 2 — calcular Δh y Δt:

$\Delta h = 15 - 15 = 0 \text{ m}, \quad \Delta t = 3 - 1 = 2 \text{ s}$

Paso 3 — dividir:

$\text{TCP} = \frac{0}{2} = 0 \text{ m/s}$

Una tasa de cambio promedio igual a cero significa que la pelota regresó a la misma altura de la que partió: subió y volvió a bajar durante esos 2 segundos. La velocidad instantánea en t = 1 s y en t = 3 s no es cero (el objeto seguía en movimiento), pero en promedio el desplazamiento neto fue nulo.

Recta secante frente a recta tangente

	Recta secante	Recta tangente
Pasa por	Dos puntos de la curva	Un solo punto de la curva
Su pendiente es	Tasa de cambio promedio	Tasa de cambio instantánea
Se calcula con	Δf / Δx	Derivada f′(x)
¿Requiere cálculo diferencial?	No	Sí

La tasa de cambio promedio es un concepto de precálculo: solo se necesita aritmética. La pendiente de la tangente es el límite de la pendiente de la secante cuando los dos puntos se acercan indefinidamente: al hacer x₂ → x₁, la secante gira hasta rozar la curva en un único punto.

Fundamento de la fórmula

La fórmula proviene directamente de la definición de pendiente aplicada a una función. Si se trazan dos puntos cualesquiera sobre una curva y se unen con una recta, la pendiente de esa recta es (ascenso) / (avance) = Δf / Δx. Esta es la medida más sencilla posible de "qué tan rápido" cambia la función entre esas dos entradas. Responde a la pregunta: si alguien solo nos dijera los valores inicial y final, ¿a qué tasa constante se habría producido el mismo cambio neto?

Conexión con el Teorema del Valor Medio

El Teorema del Valor Medio (TVM) garantiza que para cualquier curva suave, la tasa de cambio promedio en [x₁, x₂] es alcanzada por la tasa de cambio instantánea en algún punto c interior al intervalo:

$f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Esto significa que la pendiente de la secante no es solo una aproximación: es exactamente la pendiente de la tangente en algún punto interno. En la práctica, esto explica por qué la velocidad media de un viaje siempre se alcanza en algún instante exacto del trayecto.

Aplicaciones

• Física — velocidad media: Si la posición de un objeto es s(t), la tasa de cambio promedio de la posición es la velocidad media: Δs/Δt. Un vehículo que recorre 120 km en 1,5 h tiene una velocidad media de 120 / 1,5 = 80 km/h.
• Economía — variación de costos: Si el costo de producción de una empresa sube de $850 000 a $1 020 000 MXN al pasar de 200 a 250 unidades, la tasa de cambio promedio es (1 020 000 − 850 000) / (250 − 200) = $3 400 MXN por unidad adicional.
• Biología — crecimiento de una colonia: Si una bacteria se reproduce y la población pasa de 500 a 1 200 organismos en 3 horas, la tasa de cambio promedio es (1 200 − 500) / 3 ≈ 233 organismos/hora.
• Climatología — variación de temperatura: Si la temperatura en la Ciudad de México a las 6:00 h es 14 °C y a las 14:00 h es 26 °C, la tasa de cambio promedio de temperatura es (26 − 14) / (14 − 6) = 1,5 °C/hora.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿En qué se diferencia la tasa de cambio promedio de la tasa de cambio instantánea?

La tasa de cambio promedio mide cuánto varía una función en un intervalo: es la pendiente de la recta secante que pasa por dos puntos de la curva. La tasa de cambio instantánea, en cambio, es la pendiente de la recta tangente en un único punto, y se obtiene tomando el límite cuando el intervalo se contrae hasta cero.

Ese límite es precisamente la derivada en cálculo diferencial. Para una recta ambas tasas son siempre iguales; para una curva difieren a menos que el intervalo sea un solo punto.

¿Qué relación tiene la tasa de cambio promedio con el Teorema del Valor Medio?

El Teorema del Valor Medio (TVM) establece que si una función es continua en [x₁, x₂] y diferenciable en (x₁, x₂), entonces existe al menos un punto c en (x₁, x₂) donde la tasa de cambio instantánea iguala a la tasa de cambio promedio: f'(c) = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁).

Dicho de otro modo, la pendiente de la secante que calculamos aquí es alcanzada exactamente por la pendiente de la tangente en algún punto interior del intervalo. El TVM es uno de los resultados fundamentales del cálculo diferencial.

¿Cómo se aplica la tasa de cambio promedio en física?

Cuando la posición de un objeto es una función del tiempo, la tasa de cambio promedio de la posición corresponde a la velocidad media: v̄ = Δs / Δt. Por ejemplo, si un objeto está en la posición 3 m cuando t = 1 s y en 19 m cuando t = 5 s, su velocidad media es (19 − 3) / (5 − 1) = 4 m/s.

El mismo principio se aplica a otras magnitudes: aceleración media = Δv / Δt, corriente eléctrica media = ΔQ / Δt (carga por unidad de tiempo), tasa de crecimiento poblacional media = ΔN / Δt.

¿Puede ser negativa la tasa de cambio promedio?

Sí. Una tasa de cambio promedio negativa indica que la función disminuyó en el intervalo, es decir, f(x₂) < f(x₁). Por ejemplo, si la temperatura baja de 28 °C a las 14:00 h a 16 °C a las 20:00 h, la tasa de cambio promedio de temperatura es (16 − 28) / (20 − 14) = −2 °C/h.

El signo comunica la dirección del cambio: positivo significa que la función creció, negativo que decreció, y cero que en promedio se mantuvo constante (aunque pudo haber oscilado dentro del intervalo).