Última actualización: 2026-05-18

Definición

Una combinación $C(n, r)$ cuenta el número de formas de elegir $r$ elementos de un conjunto de $n$ elementos distintos, sin importar el orden. Elegir $\{A, B\}$ es lo mismo que elegir $\{B, A\}$.

$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$

También se llama coeficiente binomial y se lee "$n$ sobre $r$" o "$n$ elige $r$".

Ejemplo resuelto

¿Cuántas manos de 5 cartas se pueden repartir de una baraja estándar de 52 cartas?

$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,47!} = 2{.}598{.}960$$

El resultado equivale a aproximadamente 2,6 millones de manos distintas.

Propiedad de simetría

$$C(n, r) = C(n, n - r)$$

Elegir 3 de 10 es equivalente a dejar fuera 7. Cuando $r > n/2$, conviene usar $C(n, n-r)$ para simplificar el cálculo.

Triángulo de Pascal

$$C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)$$

Esta recurrencia genera el triángulo de Pascal, donde la fila $n$ lista los valores $C(n, 0), C(n, 1), \ldots, C(n, n)$.

Combinación vs. permutación

Situación	Fórmula	Motivo
Comité de 3 de entre 10 candidatos	$C(10, 3)$	Solo importa quiénes forman el grupo
Medallas (oro, plata, bronce) entre 10 atletas	$P(10, 3)$	La medalla depende del puesto
6 números de lotería del 1 al 49	$C(49, 6)$	Solo cuáles números, no el orden
PIN de 4 dígitos sin repetición	$P(10, 4)$	La secuencia determina el código

Para los mismos $n$ y $r$: $C(n, r) = P(n, r) / r!$.

Aplicaciones habituales

• Probabilidad: manos de póker, probabilidades de la lotería
• Selección de equipos: elegir jugadores de un grupo
• Control de calidad: extraer muestras representativas de un lote
• Distribución binomial: base de los modelos probabilísticos discretos

Notas prácticas

Casos especiales. $C(n, 0) = C(n, n) = 1$: hay exactamente una forma de no elegir nada y una de elegirlo todo.

$r > n$ no está definido. No se pueden elegir más elementos que el total disponible; la calculadora muestra un error en este caso.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es una combinación?

Una combinación C(n, r) es el número de formas de elegir r elementos de un conjunto de n elementos distintos cuando el orden no importa. Elegir {A, B} es lo mismo que elegir {B, A}. La fórmula es C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!), también escrito como el coeficiente binomial "n sobre r".

¿Cuándo debo usar combinación en lugar de permutación?

Se usa combinación cuando solo importa el grupo seleccionado, no el orden: elección de un comité, números de lotería, selección de libros de una lista. Se usa permutación cuando el orden determina el resultado: asignación de asientos, clasificación en una competición, PIN. Para los mismos n y r: C(n, r) = P(n, r) / r!.

¿Cuál es la fórmula de C(n, r)?

C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!). El r! en el denominador divide todas las ordenaciones de los r elementos seleccionados, ya que se consideran la misma combinación. Ejemplo: C(5, 2) = 120 / (2 × 6) = 10. Hay 10 formas de elegir 2 elementos de 5 sin importar el orden.