Última actualización: 2026-07-01

Crecimiento y decaimiento exponencial

Una cantidad crece o decae exponencialmente cuando su ritmo de cambio es proporcional a su tamaño actual. Cuanto mayor es, más rápido cambia. Este patrón describe poblaciones, saldos con interés compuesto, material radiactivo, concentraciones de fármacos y la propagación inicial de una epidemia. El modelo común detrás de todos ellos es:

N = N₀ (1 ± r)^t

Aquí N₀ es la cantidad inicial, r es la tasa por período, t es el tiempo transcurrido y N es la cantidad después de ese tiempo. Un signo más da crecimiento; un signo menos, decaimiento.

Crecimiento frente a decaimiento

La única diferencia entre crecimiento y decaimiento es el signo de la tasa. En el crecimiento el factor (1 + r) es mayor que 1, así que cada período la cantidad se amplía y la curva sube cada vez más empinada. En el decaimiento el factor (1 − r) está entre 0 y 1, así que cada período la cantidad se reduce y la curva cae hacia cero, sin llegar a alcanzarlo.

Discreto frente a continuo

Hay dos formas habituales de aplicar la tasa.

El modelo discreto, N₀ (1 ± r)^t, aplica la tasa una vez por período completo. Se ajusta a situaciones que cambian en pasos: intereses acreditados una vez al año, una población censada cada generación, un saldo actualizado cada mes.

El modelo continuo, N₀ · e^(kt), aplica la tasa en cada instante, donde k es la tasa continua y e ≈ 2,71828. Se ajusta a procesos que cambian de forma suave todo el tiempo: decaimiento radiactivo, interés compuesto continuo, reacciones químicas de primer orden. Con la misma tasa nominal, el modelo continuo crece algo más rápido, porque cada pequeña ganancia empieza a componerse de inmediato.

Tiempo de duplicación y vida media

Como la tasa es un porcentaje fijo, una cantidad creciente tarda lo mismo en duplicarse sin importar su tamaño actual, y una cantidad que decae tarda lo mismo en reducirse a la mitad. Esas constantes son el tiempo de duplicación y la vida media.

Para el modelo discreto:

• Tiempo de duplicación = ln 2 ÷ ln(1 + r)
• Vida media = −ln 2 ÷ ln(1 − r)

Para el modelo continuo ambos se reducen a ln 2 ÷ k, ya que la magnitud de la tasa es la misma en cualquier dirección.

Un atajo útil es la regla del 70: divida 70 entre la tasa porcentual para estimar el tiempo de duplicación. Al 5 % anual, duplicar tarda unos 70 ÷ 5 = 14 años, cerca de los 14,21 años exactos.

Ejemplo resuelto

Problema: Un pueblo de 1.000 habitantes crece al 5 % anual. ¿Cuántas personas hay tras 10 años y cuánto tarda en duplicarse?

Con el modelo discreto de crecimiento:

N = 1000 × (1 + 0,05)^10 = 1000 × 1,62889 ≈ 1.629 personas

Tiempo de duplicación = ln 2 ÷ ln(1,05) ≈ 0,6931 ÷ 0,04879 ≈ 14,21 años

Así que tras una década la población es de unos 1.629, y a este ritmo alcanzará 2.000 en algo más de catorce años.

Un ejemplo de decaimiento

Problema: Una dosis de 200 mg de un fármaco decae de forma continua con una tasa de 0,231 por hora. ¿Cuánto queda tras 6 horas y cuál es su vida media?

N = 200 × e^(−0,231 × 6) = 200 × e^(−1,386) ≈ 50 mg

Vida media = ln 2 ÷ 0,231 ≈ 3 horas

El resultado de 50 mg a las 6 horas es exactamente una cuarta parte de la dosis, lo que tiene sentido: 6 horas son dos vidas medias, así que la cantidad se ha reducido a la mitad dos veces.

Relación con el interés compuesto

El crecimiento exponencial es el motor matemático del interés compuesto. El modelo discreto con r como tasa de interés periódica es idéntico a la fórmula del interés compuesto, y el modelo continuo corresponde al interés compuesto continuo. Esta calculadora mantiene un enfoque general para que sirva igual en biología, física y finanzas.