Última actualización: 2026-05-20

El segmento circular

Un segmento circular es la región delimitada por una cuerda y el arco que subtiende. A partir del radio y el ángulo central se obtienen las cuatro medidas fundamentales: longitud de la cuerda, sagitta (altura), longitud del arco y área del segmento.

Segmento circular

Al trazar una cuerda en un círculo, ésta divide el disco en dos partes. Cada una de ellas es un segmento circular. Conviene distinguirlo de otra figura habitual:

• Sector circular — la «porción de tarta» delimitada por dos radios y el arco entre ellos. El vértice está en el centro.
• Segmento circular — la región entre una cuerda y el arco. No pasa por el centro (salvo cuando la cuerda es un diámetro).

Toda cuerda genera dos segmentos: el segmento menor (el más pequeño, cuando θ < π) y el segmento mayor (el más grande). Cuando θ = π la cuerda es un diámetro y ambos segmentos son semicírculos iguales.

La sagitta

La sagitta — del latín sagitta, «flecha» — es la distancia perpendicular desde el punto medio de la cuerda hasta el punto medio del arco. Es la altura del segmento.

Para radio r y ángulo central θ (en radianes):

$h = r\bigl(1 - \cos(\theta/2)\bigr)$

Cuando θ = π (semicírculo), la sagitta iguala al radio: la cuerda es el diámetro y el arco llega al punto diametralmente opuesto. Para ángulos muy pequeños la sagitta tiende a cero; cuando θ = 2π se acerca a 2r (el diámetro completo).

Fórmulas

Todas las fórmulas usan θ en radianes. La calculadora convierte grados y gradianes de forma automática.

Magnitud	Fórmula
Longitud de la cuerda	$c = 2r\sin(\theta/2)$
Sagitta (altura)	$h = r(1 - \cos(\theta/2))$
Longitud del arco	$l = r\theta$
Área del segmento	$A = \tfrac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$

Por qué funciona la fórmula del área del segmento

El segmento es el sector circular menos el triángulo isósceles formado por los dos radios y la cuerda.

• Área del sector = ½r²θ
• Área del triángulo = ½r²sen θ (base = cuerda = 2r sen(θ/2), altura = r cos(θ/2); producto = r² sen(θ/2)cos(θ/2) = ½r²sen θ)
• Área del segmento = sector − triángulo = ½r²θ − ½r²sen θ = ½r²(θ − sen θ)

Ejemplo resuelto

Una ventana circular tiene radio r = 10 m y una cuerda horizontal que subtiende un ángulo central θ = 90°.

Conversión a radianes: θ = π/2 ≈ 1,5708 rad.

• Cuerda = 2 × 10 × sen(45°) = 20 × 0,7071 ≈ 14,14 m
• Sagitta = 10 × (1 − cos(45°)) = 10 × 0,2929 ≈ 2,93 m
• Arco = 10 × π/2 ≈ 15,71 m
• Área del segmento = ½ × 100 × (π/2 − 1) ≈ 50 × 0,5708 ≈ 28,54 m²

Para comparar, el área del círculo completo es π × 100 ≈ 314,16 m². Este segmento de 90° representa aproximadamente el 9,1 % del disco completo.