Última actualización: 2026-05-19

Sistema de ecuaciones lineales 2×2

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma:

donde $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$ son los coeficientes de las incógnitas y $c_1$, $c_2$ son los términos independientes. Resolver el sistema consiste en encontrar los valores de $x$ e $y$ que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente, o bien determinar que no existe tal par de valores.

La regla de Cramer

El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes:

$D = a_1 b_2 - a_2 b_1$

Cuando D ≠ 0, la solución única del sistema es:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

Cada numerador es el determinante de la matriz que resulta de sustituir una columna de coeficientes por el vector de términos independientes. Matemáticamente, esto corresponde a desplegar la fórmula $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ componente a componente.

Interpretación geométrica

Cada ecuación $ax + by = c$ representa una recta en el plano xy. Resolver el sistema equivale a encontrar el punto de intersección de ambas rectas.

• D ≠ 0 (sistema compatible determinado): las rectas se cortan en un único punto. La matriz de coeficientes es invertible.
• D = 0 y numeradores nulos (sistema compatible indeterminado): las rectas son coincidentes — una ecuación es múltiplo de la otra. Todos los puntos de la recta son solución.
• D = 0 y algún numerador distinto de cero (sistema incompatible): las rectas son paralelas y no se cortan. No existe ningún par (x, y) que satisfaga ambas ecuaciones.

Ejemplo resuelto

Resolvemos el sistema predeterminado:

$2x + 3y = 8 \quad \text{y} \quad x - y = 1$

Paso 1 — Calcular el determinante:

$D = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$

Como D ≠ 0, el sistema tiene solución única.

Paso 2 — Calcular x:

$x = \frac{(8)(-1) - (1)(3)}{-5} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} = 2{,}2$

Paso 3 — Calcular y:

$y = \frac{(2)(1) - (1)(8)}{-5} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} = 1{,}2$

Comprobación:

$2 \cdot 2{,}2 + 3 \cdot 1{,}2 = 4{,}4 + 3{,}6 = 8 \checkmark \quad \text{y} \quad 2{,}2 - 1{,}2 = 1 \checkmark$

Cuando el determinante es cero

Si D = 0, las dos filas de la matriz de coeficientes son proporcionales: $[a_1, b_1] = k\,[a_2, b_2]$. La clasificación del sistema depende entonces del término independiente:

• Si $c_1 = k\,c_2$, los dos numeradores de Cramer son nulos → sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones).
• Si $c_1 \neq k\,c_2$, al menos un numerador es distinto de cero → sistema incompatible (sin solución).

En la práctica basta con calcular los numeradores $c_1 b_2 - c_2 b_1$ y $a_1 c_2 - a_2 c_1$: si ambos son cero junto a D = 0, el sistema es indeterminado; en caso contrario, es incompatible.