Generado el: 13 de junio de 2026, 18:01

Calculadora de volumen y área superficial del elipsoide

Datos de entrada

Semieje a	3 cm
Semieje b	2 cm
Semieje c	1 cm

Visualización

Matemáticas

Calculadora de volumen y área superficial del elipsoide

Calcula el volumen exacto y el área superficial aproximada de un elipsoide triaxial a partir de sus tres semiejes. Fórmula (4/3)πabc, aproximación de Knud Thomsen y casos especiales de esferoide.

Semieje a

Semieje b

Semieje c

Introduce un valor para ver los resultados.

Volumen

cm³

Detalles

Área superficial (aprox.)

cm²

Volumen

\begin{aligned} V &= \tfrac{4}{3}\pi a b c \\ &= \tfrac{4}{3}\pi (3\,\text{cm})(2\,\text{cm})(1\,\text{cm}) \\ &= ?\,\text{cm³} \end{aligned}

Área superficial (Knud Thomsen)

\begin{aligned} A &\approx 4\pi\!\left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{\!1/p} \\[4pt] &\quad p = 1.6075 \\[4pt] &= ?\,\text{cm²} \end{aligned}

Última actualización: 2026-06-04

Definición

Un elipsoide es una superficie cerrada y suave en tres dimensiones cuyas secciones transversales son todas elipses. Queda determinado por tres semiejes — las semilongitudes a lo largo de los tres ejes de coordenadas:

a — el semieje mayor (dirección del eje x)
b — el semieje intermedio (dirección del eje y)
c — el semieje menor (dirección del eje z, profundidad)

Todo punto de la superficie cumple la ecuación $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ . Cuando los tres semiejes son iguales ( $a = b = c = r$ ), el elipsoide se convierte en una esfera.

Entre los ejemplos más conocidos se encuentran la Tierra (un esferoide oblato, $a \approx b > c$ ), un balón de rugby (esferoide prolato, $a > b \approx c$ ), el núcleo de una célula, un planeta o un depósito de presión de sección elipsoidal.

Fórmulas

Propiedad	Fórmula	¿Exacta?
Volumen	$V = \tfrac{4}{3}\pi abc$	Sí
Área superficial	$A \approx 4\pi\!\left[\dfrac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right]^{1/p},\ p = 1{,}6075$	No (error < 1,061 %)

Deducción del volumen

La fórmula $V = \tfrac{4}{3}\pi abc$ se obtiene integrando las secciones transversales elípticas del sólido. A una altura $z$ , la sección horizontal es una elipse con semiejes $a\sqrt{1 - z^2/c^2}$ y $b\sqrt{1 - z^2/c^2}$ , cuya área es $\pi ab(1 - z^2/c^2)$ . Integrando desde $z = -c$ hasta $z = c$ :

V = \int_{-c}^{c} \pi ab\!\left(1 - \frac{z^2}{c^2}\right) dz = \pi ab \!\left[z - \frac{z^3}{3c^2}\right]_{-c}^{c} = \pi ab \cdot \frac{4c}{3} = \frac{4}{3}\pi abc

Es la generalización directa de la fórmula de la esfera: basta sustituir el radio $r$ por el semieje correspondiente en cada dirección.

Por qué el área superficial no tiene forma cerrada

Para una esfera, la curvatura es uniforme en toda la superficie y la integral de superficie se simplifica a $4\pi r^2$ . En un elipsoide, la curvatura varía continuamente de un punto a otro, y la integral de superficie se reduce a integrales elípticas incompletas de primera y segunda especie — funciones trascendentes sin expresión elemental en forma cerrada.

Para el caso particular del esferoide ( $a = b \neq c$ ), las integrales sí se reducen a expresiones elementales:

Esferoide oblato ( $a = b > c$ ): $A = 2\pi a^2\!\left(1 + \dfrac{c^2}{ae}\arcsin e\right)$ , con $e = \sqrt{1 - c^2/a^2}$
Esferoide prolato ( $a > b = c$ ): $A = 2\pi c^2\!\left(1 + \dfrac{a}{ce}\,\text{arcsinh}\, e\right)$ , con $e = \sqrt{1 - c^2/a^2}$

Para un elipsoide triaxial ( $a \neq b \neq c$ ) es necesaria una aproximación práctica.

Aproximación de Knud Thomsen

La aproximación más precisa y sencilla para el área superficial de un elipsoide triaxial es la fórmula de Knud Thomsen (2004):

A \approx 4\pi \!\left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{\!1/p}, \quad p = 1{,}6075

El exponente $p = 1{,}6075$ se determinó de forma empírica para minimizar el error relativo en el peor caso. Para cualquier combinación de semiejes positivos, el error máximo es inferior al 1,061 %, y para la esfera ( $a = b = c$ ) la fórmula es exacta, pues se reduce algebraicamente a $4\pi a^2$ .

Casos especiales

Forma	Condición	Volumen	Área superficial (exacta)
Esfera	$a = b = c$	$\tfrac{4}{3}\pi a^3$	$4\pi a^2$
Esferoide oblato	$a = b > c$	$\tfrac{4}{3}\pi a^2 c$	$2\pi a^2 + \dfrac{2\pi c^2}{e}\arcsin e$ , con $e = \sqrt{1-c^2/a^2}$
Esferoide prolato	$a > b = c$	$\tfrac{4}{3}\pi a c^2$	$2\pi c^2 + \dfrac{2\pi ac}{e}\,\text{arcsinh}\, e$ , con $e = \sqrt{1-c^2/a^2}$

Ejemplo numérico

Se dispone de un depósito de agua de sección elipsoidal con semiejes $a = 40\ \text{cm}$ , $b = 25\ \text{cm}$ y $c = 20\ \text{cm}$ .

Volumen:

V = \tfrac{4}{3} \times \pi \times 0{,}40 \times 0{,}25 \times 0{,}20 = \tfrac{4}{3} \times \pi \times 0{,}020 \approx 0{,}08378\ \text{m}^3 \approx \mathbf{83{,}8\ \text{litros}}

Área superficial (Knud Thomsen, $p = 1{,}6075$ ):

$0{,}40^{1{,}6075} \approx 0{,}2293$ ; $\quad 0{,}25^{1{,}6075} \approx 0{,}1077$ ; $\quad 0{,}20^{1{,}6075} \approx 0{,}0752$
$a^p b^p = 0{,}02469$ ; $\quad a^p c^p = 0{,}01725$ ; $\quad b^p c^p = 0{,}00810$
$\text{Media} = 0{,}01668$ ; $\quad (0{,}01668)^{1/1{,}6075} \approx 0{,}0784$

A \approx 4\pi \times 0{,}0784 \approx \mathbf{0{,}985\ \text{m}^2}

Este valor indica, por ejemplo, la superficie de chapa o material necesaria para fabricar la pared del depósito.

El volumen escala con el producto de los tres semiejes

Dado que $V = \tfrac{4}{3}\pi abc$ , duplicar cualquiera de los semiejes por separado duplica el volumen — algo diferente de la esfera, donde duplicar $r$ multiplica $V$ por 8. Duplicar los tres semiejes a la vez sí multiplica el volumen por 8, de forma coherente con un factor de escala uniforme de 2.

Cambio	Factor de volumen
Duplicar solo a	×2
Duplicar solo b	×2
Duplicar los tres	×8
Triplicar los tres	×27

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cuál es la fórmula del volumen de un elipsoide?

El volumen de un elipsoide con semiejes a, b y c es V = (4/3)πabc. Por ejemplo, un elipsoide con a = 3 cm, b = 2 cm y c = 1 cm tiene V = (4/3) × π × 3 × 2 × 1 ≈ 25,13 cm³. Cuando los tres semiejes son iguales (a = b = c = r), la fórmula se reduce a la de la esfera: V = (4/3)πr³.

¿Por qué el área superficial del elipsoide es solo aproximada?

El área superficial exacta de un elipsoide triaxial general implica integrales elípticas incompletas de primera y segunda especie, para las que no existe una expresión elemental en forma cerrada. En la práctica se recurre a aproximaciones. La fórmula más precisa y sencilla es la aproximación de Knud Thomsen: A ≈ 4π·[(aᵖbᵖ + aᵖcᵖ + bᵖcᵖ)/3]^(1/p), con p = 1,6075. Su error relativo máximo es inferior al 1,061 % para cualquier combinación de semiejes. Para una esfera (a = b = c) la fórmula es exacta.

¿Qué diferencia hay entre un esferoide oblato y uno prolato?

Un esferoide es un elipsoide especial con dos semiejes iguales. El esferoide oblato (como la Tierra o un disco achatado) tiene dos ejes mayores iguales y uno menor: a = b > c. El esferoide prolato (como un balón de rugby o un huevo) tiene dos ejes menores iguales y uno mayor: a > b = c. En ambos casos el área superficial puede calcularse de forma exacta mediante funciones elementales, a diferencia del caso triaxial general.

¿Cuál es la precisión de la aproximación de Knud Thomsen?

La fórmula de Knud Thomsen con exponente p = 1,6075 tiene un error relativo máximo inferior al 1,061 % para cualquier combinación de semiejes positivos. Es exacta para la esfera (a = b = c) y alcanza errores próximos al 1 % solo con proporciones de ejes muy extremas. Para la mayoría de las aplicaciones prácticas — ingeniería, diseño, biología — el error se sitúa por debajo del 0,5 %.

Recomendaciones

Calculadora de volumen y área de la esfera

Calcula el volumen, el área superficial y el diámetro de una esfera a partir de su radio. Resultados en unidades métricas e imperiales, con desarrollo paso a paso.

Saber más