Última actualización: 2026-07-01

La ecuación de la circunferencia

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos situados a una distancia fija —el radio $r$— de un punto fijo —el centro $(h, k)$—. Traducir esa definición a coordenadas da la forma ordinaria de la circunferencia:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

Al desarrollar los cuadrados y agrupar términos se obtiene la forma general:

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

Ambas ecuaciones describen la misma circunferencia. La forma ordinaria muestra el centro y el radio a la vista; la forma general los oculta, pero es la expresión que surge de manera natural cuando una ecuación se presenta "en bruto". Esta calculadora convierte entre ambas en cualquier sentido.

De la forma general al centro y al radio

Dada $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, el centro y el radio son:

$\text{centro} = \left(-\frac{D}{2},\ -\frac{E}{2}\right) \qquad r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}$

Las coordenadas del centro salen directamente de los coeficientes de $x$ y $y$. Para el radio, la cantidad bajo la raíz —el radicando $\tfrac{D^2}{4} + \tfrac{E^2}{4} - F$— debe ser positiva para que exista una circunferencia genuina.

Completar el cuadrado

La conversión no es más que completar el cuadrado aplicado a ambas variables a la vez. Parte de la forma general y agrupa:

$(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F$

Para completar cada cuadrado, suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal a ambos lados: $\left(\tfrac{D}{2}\right)^2$ para el grupo de $x$ y $\left(\tfrac{E}{2}\right)^2$ para el de $y$:

$\left(x + \tfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \tfrac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$

El lado izquierdo es ahora la suma de dos cuadrados perfectos centrados en $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$, y el derecho es $r^2$. Esa es exactamente la forma ordinaria.

Ejemplo resuelto

Problema: Halla el centro y el radio de $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$.

Paso 1 — identificar los coeficientes: $D = -4$, $E = 6$, $F = 9$.

Paso 2 — hallar el centro:

$\text{centro} = \left(-\frac{-4}{2},\ -\frac{6}{2}\right) = (2,\ -3)$

Paso 3 — hallar el radio:

$r = \sqrt{\frac{(-4)^2}{4} + \frac{6^2}{4} - 9} = \sqrt{4 + 9 - 9} = \sqrt{4} = 2$

Así, la circunferencia tiene centro $(2, -3)$ y radio $2$, y su forma ordinaria es $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$.

Del centro y el radio de vuelta a la forma general

En sentido inverso, desarrolla los cuadrados de la forma ordinaria. Con centro $(h, k)$ y radio $r$:

$D = -2h \qquad E = -2k \qquad F = h^2 + k^2 - r^2$

Para el ejemplo anterior, $h = 2$, $k = -3$, $r = 2$ dan $D = -4$, $E = 6$ y $F = 4 + 9 - 4 = 9$, recuperando la forma general original $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$.

Cuándo no hay circunferencia real

El radio solo es real cuando el radicando es positivo:

$\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F > 0$

Se dan tres casos:

• Radicando positivo — una circunferencia real con $r = \sqrt{\text{radicando}}$.
• Radicando nulo — la ecuación se reduce al único punto $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$, una "circunferencia puntual" degenerada de radio $0$.
• Radicando negativo — ningún punto real satisface la ecuación. A veces se le llama circunferencia imaginaria; geométricamente no hay nada que dibujar.

Por ejemplo, $x^2 + y^2 + 1 = 0$ tiene $D = E = 0$ y $F = 1$, así que el radicando es $-1$. Ningún $(x, y)$ real puede hacer que una suma de cuadrados valga $-1$, de modo que no hay circunferencia.

Por qué importa la forma general

La forma general $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ es la ecuación de segundo grado en la que los coeficientes de $x^2$ e $y^2$ son iguales y no hay término $xy$ —la firma algebraica de una circunferencia entre las cónicas—. Reconocerla permite saber de un vistazo si una ecuación de segundo grado enrevesada es una circunferencia (coeficientes cuadráticos iguales, sin término cruzado) antes de hacer ningún cálculo, y completar el cuadrado revela entonces su centro y su radio.