Última actualización: 2026-06-06

Definición

Un tronco de pirámide es el sólido que resulta de seccionar una pirámide con un plano paralelo a la base y retirar la parte superior. La figura resultante tiene dos bases poligonales paralelas —la base inferior de área A₁ y la base superior de área A₂, con A₁ ≥ A₂— unidas por caras laterales trapezoidales, y una altura h medida perpendicularmente entre las dos bases.

Ambas bases son polígonos semejantes: conservan la misma forma pero a diferente escala. Esta condición distingue el tronco de pirámide de un prismatoide genérico y es la que permite aplicar la fórmula que se describe a continuación.

Fórmula del volumen

El volumen de un tronco de pirámide se calcula mediante la fórmula prismática:

$V = \frac{h}{3}\!\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)$

donde A₁ es el área de la base inferior, A₂ es el área de la base superior y h es la altura perpendicular entre ambas bases.

La expresión contiene tres sumandos: el área inferior A₁, el área superior A₂ y su media geométrica √(A₁A₂). Cada uno se pondera con h/3.

Derivación de la fórmula

La fórmula se obtiene por diferencia de pirámides. Considérese una pirámide completa de base A₁ y altura total H sobre esa base. Al retirar por un corte paralelo la pirámide pequeña de base A₂ y altura H − h, se obtiene el tronco.

Por la ley de semejanza entre sólidos, las áreas escalan con el cuadrado del factor lineal:

$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{H - h}{H}\right)^2$

Despejando H e introduciéndolo en la diferencia de volúmenes:

$V = \frac{A_1 H}{3} - \frac{A_2 (H - h)}{3}$

Tras eliminar H algebraicamente y simplificar, la expresión se reduce exactamente a los tres sumandos de la fórmula prismática. La media geométrica √(A₁A₂) aparece porque coincide con el área de la sección transversal intermedia de la pirámide completa.

Casos límite

Dos casos degenerados permiten verificar la coherencia de la fórmula:

Pirámide completa (A₂ = 0): la fórmula se reduce a V = A₁·h/3, que es la expresión estándar del volumen de una pirámide. El término de la media geométrica desaparece.

Prisma (A₁ = A₂ = A): la fórmula da V = (h/3)(A + A + A) = A·h, que es el volumen de un prisma. Un tronco con bases iguales es, en efecto, un prisma.

Ejemplo numérico

Una maceta de jardín tiene base cuadrada inferior de 30 cm × 30 cm, base cuadrada superior de 20 cm × 20 cm y altura de 25 cm.

• A₁ = 30 × 30 = 900 cm²
• A₂ = 20 × 20 = 400 cm²
• √(A₁·A₂) = √(900 × 400) = √360.000 = 600 cm²
• V = (25/3)(900 + 400 + 600) = (25/3) × 1.900 ≈ 15.833 cm³ ≈ 15,8 litros

La maceta admite aproximadamente 15,8 litros de sustrato, equivalente a un saco estándar de 15 litros.

Entrada de áreas

Esta calculadora toma directamente las áreas de las bases, no las dimensiones individuales de los lados. Este enfoque hace que la fórmula sea general para cualquier polígono de base: basta con introducir el área de la base hexagonal, triangular o de cualquier otra forma sin necesidad de una expresión específica para cada tipo. Para una base cuadrada de lado s, el área es s². Para un hexágono regular de lado a, el área es (3√3/2)a².

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