Última actualización: 2026-06-04

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante fija denominada razón. Su forma general es:

$a_1,\; a_1 r,\; a_1 r^2,\; a_1 r^3,\; \ldots$

donde $a_1$ es el primer término y $r$ es la razón.

Término n-ésimo

El término que ocupa la posición $n$ en la progresión se calcula como:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

La fórmula parte del primer término $a_1$ y aplica la razón $r$ exactamente $n - 1$ veces, que corresponden a los pasos necesarios para avanzar desde la primera posición hasta la n-ésima.

Ejemplo resuelto. Con $a_1 = 3$ y $r = 2$, el quinto término es $3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$.

Suma de los primeros n términos

La suma parcial $S_n$ se obtiene mediante un argumento algebraico: se multiplica la suma por $r$ y se resta de sí misma, de modo que los términos interiores se cancelan:

$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)$

Cuando $r = 1$, todos los términos son iguales a $a_1$ y la suma se simplifica a $S_n = n \cdot a_1$.

Ejemplo resuelto. Sean $a_1 = 5$ y $r = 3$; se busca la suma de los cuatro primeros términos. Los términos son 5, 15, 45 y 135. Aplicando la fórmula:

$S_4 = 5 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 5 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 5 \cdot \frac{-80}{-2} = 200$

Verificación directa: $5 + 15 + 45 + 135 = 200$. ✓

Suma hasta el infinito

Cuando la razón cumple $|r| < 1$, los términos decrecen en valor absoluto y tienden a cero. Las sumas parciales convergen entonces a un límite finito:

$S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}$

Esta expresión se deduce tomando $n \to \infty$ en la fórmula de la suma parcial: el término $r^n$ se anula y queda $a_1 / (1 - r)$.

Cuando $|r| \geq 1$, los términos no se aproximan a cero y la serie diverge — no existe suma infinita finita.

Ejemplo resuelto. Una pelota cae desde 10 m de altura y cada bote alcanza el 60 % de la altura anterior ($r = 0{,}6$). La suma de las alturas de los botes ascendentes sola es:

$6 + 3{,}6 + 2{,}16 + \cdots = \frac{6}{1 - 0{,}6} = 15 \text{ m}$

Criterio de convergencia

El resultado central para las series geométricas es:

• $|r| < 1$: la serie converge a $a_1 / (1 - r)$.
• $r = 1$: los términos son constantes; la suma crece sin límite.
• $r = -1$: los términos alternan entre $a_1$ y $-a_1$; la serie oscila y diverge.
• $|r| > 1$: los términos crecen en módulo; la serie diverge.

Relación con el interés compuesto

El crecimiento por interés compuesto sigue una progresión geométrica. Si un capital $P$ se invierte a una tasa anual $i$ con capitalización anual, el saldo al cabo de $n$ años es:

$A_n = P \cdot (1 + i)^n$

Esta expresión tiene la estructura de una progresión geométrica con $a_1 = P(1+i)$ y $r = (1+i)$. La suma parcial de la misma fórmula permite calcular el valor futuro de una renta constante, es decir, una serie de aportaciones periódicas iguales.

La paradoja de Zenón

La paradoja de la dicotomía de Zenón imagina cruzar una habitación recorriendo primero la mitad de la distancia, luego la mitad de lo que queda, y así sucesivamente. La distancia total recorrida es la serie geométrica:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$

La aparente contradicción — infinitos pasos, distancia total finita — se resuelve precisamente por la convergencia de la serie geométrica con $|r| < 1$.