Última actualización: 2026-06-05

Definición

La distancia de un punto P a una recta es la longitud del segmento más corto que une P con cualquier punto de la recta. Ese segmento mínimo es siempre perpendicular a la recta, de ahí que se denomine distancia perpendicular.

Dada la recta en forma normal $Ax + By + C = 0$ y un punto $P = (p_x,\, p_y)$, la fórmula es:

$d = \frac{|Ap_x + Bp_y + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

El denominador es el módulo del vector normal $\mathbf{n} = (A, B)$ de la recta. Dividir por él convierte la expresión algebraica del numerador en una longitud geométrica real.

Demostración

El vector normal a la recta $Ax + By + C = 0$ es $\mathbf{n} = (A, B)$. Cualquier punto $Q = (x_0, y_0)$ de la recta satisface $Ax_0 + By_0 + C = 0$.

La proyección con signo del vector $\overrightarrow{QP} = (p_x - x_0,\, p_y - y_0)$ sobre la dirección unitaria $\hat{\mathbf{n}} = \mathbf{n}/|\mathbf{n}|$ es:

$\text{distancia con signo} = \frac{A(p_x - x_0) + B(p_y - y_0)}{|\mathbf{n}|} = \frac{Ap_x + Bp_y - (Ax_0 + By_0)}{|\mathbf{n}|}$

Como Q está en la recta, $Ax_0 + By_0 = -C$, luego:

$\text{distancia con signo} = \frac{Ap_x + Bp_y + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

El valor absoluto proporciona la distancia geométrica no negativa $d$. El signo indica a qué semiplano pertenece P.

Pie de la perpendicular

El pie de la perpendicular F es el punto de la recta más cercano a P. Se obtiene desplazando P a lo largo de $\mathbf{n}$ una cantidad $t = (Ap_x + Bp_y + C)\,/\,(A^2 + B^2)$:

$F_x = p_x - \frac{A\,(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}, \qquad F_y = p_y - \frac{B\,(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}$

Puede comprobarse que $AF_x + BF_y + C = 0$ (F pertenece a la recta) y que la longitud del segmento PF es igual a $d$.

Ejemplo resuelto

Datos: encontrar la distancia desde $P = (2,\, 3)$ hasta la recta $3x - 4y + 5 = 0$, y determinar el pie de la perpendicular.

Paso 1 — numerador y denominador:

$Ap_x + Bp_y + C = 3 \cdot 2 + (-4) \cdot 3 + 5 = 6 - 12 + 5 = -1$

$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Paso 2 — distancia:

$d = \frac{|-1|}{5} = 0{,}2$

Paso 3 — pie de la perpendicular:

$t = \frac{-1}{25} = -0{,}04$

$F_x = 2 - 3 \cdot (-0{,}04) = 2 + 0{,}12 = 2{,}12$

$F_y = 3 - (-4) \cdot (-0{,}04) = 3 - 0{,}16 = 2{,}84$

Comprobación: $3 \cdot 2{,}12 + (-4) \cdot 2{,}84 + 5 = 6{,}36 - 11{,}36 + 5 = 0$ ✓

El punto P se encuentra a 0,2 unidades de la recta, y el punto más cercano de la recta es $F = (2{,}12,\; 2{,}84)$.

Conversión desde la forma pendiente-ordenada

Si la recta se expresa como $y = mx + b$, basta reordenar:

$mx - y + b = 0 \quad \Longrightarrow \quad A = m,\; B = -1,\; C = b$

Por ejemplo, $y = 3x + 2$ pasa a ser $3x - y + 2 = 0$ (con $A = 3$, $B = -1$, $C = 2$).

Multiplicar toda la ecuación por una constante no nula no altera la recta ni la distancia: numerador y denominador se escalan por el mismo factor y se cancelan.

Distancia con signo

La calculadora devuelve la distancia sin signo $d \geq 0$. La versión con signo, $(Ap_x + Bp_y + C)\,/\,\sqrt{A^2+B^2}$, es positiva cuando P está en el semiplano al que apunta $\mathbf{n}$ y negativa en el lado opuesto. La distancia con signo es útil en aplicaciones como comprobación de pertenencia a un semiplano o en clasificadores de vectores de soporte.

Casos particulares

• Punto sobre la recta: $Ap_x + Bp_y + C = 0$, por lo que $d = 0$ y $F = P$.
• Recta horizontal ($A = 0$): la fórmula se simplifica a $d = |Bp_y + C|\,/\,|B|$.
• Recta vertical ($B = 0$): la fórmula se simplifica a $d = |Ap_x + C|\,/\,|A|$.
• Ecuación degenerada ($A = B = 0$): si $C = 0$, todos los puntos satisfacen la ecuación (no define una recta); si $C \neq 0$, ningún punto la satisface. En ambos casos la distancia no está definida.

Relación con el teorema de Pitágoras

La demostración puede visualizarse como un triángulo rectángulo: P, el pie F y cualquier tercer punto Q de la recta forman un triángulo con el ángulo recto en F. La hipotenusa PQ satisface $PQ^2 = PF^2 + FQ^2$, lo que confirma que PF — la distancia perpendicular — es la menor de todas las distancias desde P hasta los puntos de la recta.