Generado el: 13 de junio de 2026, 18:01

Calculadora de producto escalar

Datos de entrada

Vector a (componentes separadas por comas)	1, 2, 3
Vector b (componentes separadas por comas)	4, 5, 6

Calculadora de producto escalar

Calcule el producto escalar de dos vectores, el ángulo entre ellos y si son ortogonales. Introduzca las componentes separadas por comas.

Vector a

Vector a (componentes separadas por comas)

Vector b

Vector b (componentes separadas por comas)

Introduce un valor para ver los resultados.

Producto escalar a · b

Ángulo θ (grados)

Detalles

Módulo de a

Módulo de b

cos θ

Dimensión

orthogonal_yes

Desarrollo paso a paso

Producto escalar a · b

\begin{aligned} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \\ &= ? \end{aligned}

Coseno del ángulo (cos θ)

\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{? \times ?} \\ &= ? \end{aligned}

Ángulo entre vectores (θ)

\begin{aligned} \theta &= \arccos(\cos\theta) \\ &= \arccos(?) \\ &= ?° \end{aligned}

Última actualización: 2026-06-04

Definición

El producto escalar (también denominado producto interior o producto punto) es una operación binaria sobre vectores que produce un número real. Dados dos vectores a = (a₁, a₂, …, aₙ) y b = (b₁, b₂, …, bₙ) de igual dimensión n, se define como:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n

Esta definición algebraica permite calcularlo directamente a partir de las componentes. El resultado es un escalar —un número sin dirección—, de ahí el nombre «producto escalar».

Interpretación geométrica

La definición algebraica está ligada a la geometría del ángulo θ que forman los dos vectores:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta

donde |a| y |b| son los módulos (longitudes) de los vectores. Despejando, se obtiene la fórmula del ángulo:

\theta = \arccos\!\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}\right)

El signo del producto escalar revela la relación de orientación entre los vectores:

Positivo (θ < 90°): los vectores forman un ángulo agudo y tienen una componente en la misma dirección.
Nulo (θ = 90°): los vectores son perpendiculares (ortogonales).
Negativo (θ > 90°): los vectores forman un ángulo obtuso y se alejan entre sí.

Ejemplo desarrollado

Sean a = (2, 3, −1) y b = (4, −1, 2).

Paso 1 — producto escalar:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(4) + (3)(-1) + (-1)(2) = 8 - 3 - 2 = 3

Paso 2 — módulos:

|\mathbf{a}| = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \approx 3{,}7417

|\mathbf{b}| = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \approx 4{,}5826

Paso 3 — ángulo:

\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{294}} \approx 0{,}1750

\theta = \arccos(0{,}1750) \approx 79{,}92°

Los dos vectores son casi perpendiculares: comparten una pequeña componente en la misma dirección, pero el ángulo es próximo a 90°.

Ortogonalidad

Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es exactamente cero, lo que equivale a que forman un ángulo de 90°, sea cual sea la dimensión del espacio. Los vectores de la base cartesiana estándar son ortogonales entre sí: (1, 0, 0) · (0, 1, 0) = 0. En dos dimensiones, (3, 4) y (−4, 3) también son ortogonales.

La ortogonalidad es una propiedad central en álgebra lineal y sus aplicaciones. En el análisis de señales, las funciones de la base de Fourier son mutuamente ortogonales; en mecánica cuántica, los estados propios de un observable forman una base ortonormal; en aprendizaje automático, la independencia lineal entre variables predictoras se expresa en términos de ortogonalidad.

Proyección vectorial

Una de las aplicaciones más frecuentes del producto escalar es el cálculo de proyecciones. La proyección escalar de a sobre b —la extensión de a en la dirección de b— es:

\text{proy}_{\mathbf{b}} a = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}

La proyección vectorial correspondiente —un vector en la dirección de b con esa longitud— es:

\text{proy}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}

Si a = (5, 3) y b = (1, 0), la proyección escalar vale 5 y la proyección vectorial es (5, 0), que corresponde a la componente horizontal de a.

Aplicaciones

El producto escalar aparece en múltiples ámbitos científicos y técnicos:

Trabajo mecánico en física: W = F · d (fuerza por desplazamiento proyectado en su dirección).
Iluminación en gráficos 3D: el brillo de una superficie es proporcional al producto escalar entre la normal de la superficie y la dirección de la fuente de luz (modelo de Lamberto).
Similitud coseno en recuperación de información y sistemas de recomendación: mide el grado de alineación entre vectores de documentos o preferencias.
Regresión por mínimos cuadrados: las ecuaciones normales minimizan ‖Ax − b‖ imponiendo que el residuo sea ortogonal al espacio columna de A.
Ortonormalización de Gram–Schmidt: construye bases ortogonales mediante proyecciones sucesivas sobre los vectores ya procesados.

Relación con el producto vectorial

Para vectores en el espacio tridimensional, el producto escalar a · b = |a| |b| cos θ captura la componente de alineación, mientras que el módulo del producto vectorial a × b es |a| |b| sin θ y mide la componente de perpendicularidad (equivalente al área del paralelogramo delimitado por los dos vectores). Juntos caracterizan de forma completa la relación geométrica entre dos vectores en ℝ³.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué significado geométrico tiene el producto escalar?

El producto escalar a · b = |a| |b| cos θ mide en qué medida dos vectores apuntan en la misma dirección.

θ = 0° (vectores paralelos): el producto escalar alcanza su valor máximo, igual al producto de los módulos.
θ = 90° (vectores perpendiculares): el producto escalar es cero.
θ > 90°: el producto escalar es negativo, lo que indica que los vectores se alejan entre sí.

Geométricamente, a · b equivale al módulo de a multiplicado por la proyección escalar de b sobre a.

¿Cuándo es cero el producto escalar?

El producto escalar es cero en dos situaciones: cuando θ = 90° (los vectores son perpendiculares, es decir, ortogonales), o cuando alguno de los vectores es el vector nulo, independientemente de la dirección.

En aplicaciones prácticas, un producto escalar nulo confirma que dos fuerzas, direcciones o ejes son completamente independientes. Por ejemplo, los vectores de la base cartesiana (1, 0, 0) y (0, 1, 0) tienen producto escalar igual a cero.

¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores?

Despejando θ en la definición geométrica se obtiene θ = arccos(a · b / (|a| |b|)). Se calcula el producto escalar, se divide entre el producto de los módulos para obtener cos θ (un valor en [−1, 1]) y se aplica el arcocoseno. El resultado siempre pertenece al intervalo [0°, 180°]. Para el caso bidimensional con a = (3, 4) y b = (0, 5): producto escalar = 20, |a| = 5, |b| = 5, luego cos θ = 20/25 = 0,8 y θ = arccos(0,8) ≈ 36,87°.

¿Cómo se calcula la proyección de un vector sobre otro?

La proyección escalar de a sobre b —cuánto de a se extiende en la dirección de b— es a · b / |b|. La proyección vectorial correspondiente —un vector en la dirección de b con esa longitud— es (a · b / |b|²) · b.

Ejemplo: si a = (3, 4) y b = (1, 0), la proyección escalar vale 3 y la proyección vectorial es (3, 0). Las proyecciones son fundamentales en ajuste por mínimos cuadrados, cálculo de iluminación en gráficos 3D y descomposición de fuerzas en sus componentes.

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