Última actualización: 2026-07-13

Qué hace esta calculadora

Esta calculadora resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas x, y y z mediante la eliminación gaussiana:

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

Escribe los doce coeficientes y constantes como una matriz aumentada, reduce esa matriz a la forma escalonada con operaciones de fila y luego sustituye hacia atrás para devolver la solución (x, y, z). Cuando la matriz de coeficientes es singular, informa de que el sistema no tiene solución única.

La matriz aumentada

Al apilar los coeficientes y los lados derechos se obtiene la matriz aumentada, con una barra vertical que separa el bloque de coeficientes de las constantes:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{array}\right]$$

Cada paso de la eliminación gaussiana es una operación de fila sobre esta matriz: intercambiar dos filas, escalar una fila o sumar un múltiplo de una fila a otra. Ninguna de ellas cambia el conjunto de soluciones.

Eliminación hacia adelante

El objetivo de la eliminación hacia adelante es crear ceros por debajo de la diagonal, columna a columna, hasta que la matriz sea triangular superior (forma escalonada).

Paso 1 — anular la columna de x. Con el primer pivote a₁, se resta un múltiplo de la fila 1 a las filas 2 y 3:

$$m_{21} = \frac{a_2}{a_1}, \quad R_2 \to R_2 - m_{21} R_1, \qquad m_{31} = \frac{a_3}{a_1}, \quad R_3 \to R_3 - m_{31} R_1$$

Paso 2 — anular la columna de y. Con el nuevo segundo pivote b₂′, se resta un múltiplo de la fila 2 a la fila 3:

$$m_{32} = \frac{b_3'}{b_2'}, \quad R_3 \to R_3 - m_{32} R_2$$

La matriz ya es triangular superior:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ 0 & b_2' & c_2' & d_2' \\ 0 & 0 & c_3'' & d_3'' \end{array}\right]$$

Sustitución hacia atrás

La última fila queda solo en z, así que se resuelve directamente y los valores se propagan hacia arriba:

$$z = \frac{d_3''}{c_3''}, \quad y = \frac{d_2' - c_2' z}{b_2'}, \quad x = \frac{d_1 - b_1 y - c_1 z}{a_1}$$

Como la matriz es triangular, su determinante es simplemente el producto de los pivotes de la diagonal, $D = a_1 \cdot b_2' \cdot c_3''$. Un producto distinto de cero confirma una solución única.

Ejemplo resuelto

Resolvamos el sistema por defecto:

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

Paso 1 — multiplicadores y primer barrido. Con pivote a₁ = 2:

$$m_{21} = \frac{-3}{2} = -\tfrac{3}{2}, \qquad m_{31} = \frac{-2}{2} = -1$$

Al restar estos múltiplos de la fila 1 se obtiene

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right]$$

Paso 2 — anular la columna de y. Con pivote b₂′ = 1/2:

$$m_{32} = \frac{2}{1/2} = 4, \qquad R_3 \to R_3 - 4 R_2$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

Paso 3 — sustitución hacia atrás:

$$z = \frac{1}{-1} = -1, \quad y = \frac{1 - \tfrac{1}{2}(-1)}{1/2} = 3, \quad x = \frac{8 - (1)(3) - (-1)(-1)}{2} = 2$$

El determinante es el producto de los pivotes, $2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot (-1) = -1 \ne 0$, lo que confirma la solución única (x, y, z) = (2, 3, −1).

Verificación:

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

Cuando la eliminación se detiene

Dos situaciones interrumpen el barrido limpio anterior:

• Pivote cero, sistema no singular. Si un coeficiente de la diagonal es cero —por ejemplo cuando la primera ecuación no tiene término en x—, el multiplicador dividiría entre cero. La solución es el pivoteo parcial: intercambiar la fila afectada con otra de abajo que tenga una entrada distinta de cero en esa columna, y continuar. La solución no cambia; solo cambia el orden de las filas. El software numérico también intercambia el mayor pivote disponible para limitar el error de redondeo.
• Pivote cero que no puede corregirse. Si la eliminación produce una fila de ceros a lo largo de las columnas de coeficientes, el determinante es cero y la matriz de coeficientes es singular. El sistema tiene entonces infinitas soluciones (las constantes son compatibles con la dependencia) o ninguna (la contradicen). No existe un único (x, y, z).

Eliminación gaussiana frente a la regla de Cramer

Ambos métodos dan la misma respuesta en un sistema no singular. La regla de Cramer expresa cada incógnita como un cociente de determinantes, elegante para un 3×3 pero costoso a medida que crece el tamaño. La eliminación gaussiana transforma todo el sistema con operaciones de fila y escala mucho mejor: es la base de los solucionadores lineales de las bibliotecas numéricas. Reducir hasta la forma escalonada reducida (RREF), donde cada pivote es 1 y las entradas de arriba también se anulan, permite leer la solución directamente sin un paso de sustitución aparte.

Aplicaciones

Los sistemas de tres variables aparecen en el álgebra y el precálculo, en el análisis de circuitos con las leyes de Kirchhoff sobre tres mallas, al balancear reacciones químicas y allí donde tres condiciones lineales deben cumplirse a la vez. La eliminación gaussiana es el método manual estándar para estos sistemas y el punto de partida conceptual de la factorización LU y de gran parte del álgebra lineal computacional.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es la eliminación gaussiana?

La eliminación gaussiana es una forma sistemática de resolver un sistema lineal combinando ecuaciones. Escribiendo el sistema como matriz aumentada, se restan múltiplos de una fila a las demás para crear ceros por debajo de la diagonal hasta llegar a la forma triangular superior (escalonada). La última fila queda con una sola incógnita y la sustitución hacia atrás recupera el resto de abajo hacia arriba.

¿En qué se diferencia de la regla de Cramer?

Ambas llegan a la misma solución. La regla de Cramer escribe cada incógnita como un cociente de determinantes, compacto para un 3×3 pero cada vez más costoso al crecer. La eliminación gaussiana transforma todo el sistema con operaciones de fila; escala mucho mejor a sistemas grandes y es el método detrás de la mayoría del software de álgebra lineal numérica. Esta herramienta muestra los pasos de eliminación, mientras que el determinante se reporta como el producto de los pivotes.

¿Cuál es la diferencia entre forma escalonada y escalonada reducida?

La forma escalonada tiene ceros por debajo de cada entrada principal, con aspecto triangular superior que se termina por sustitución hacia atrás. La forma escalonada reducida va más allá: cada entrada principal es 1 y también se anulan las de arriba, de modo que la solución se lee directamente. Esta calculadora reduce a la forma escalonada y luego sustituye hacia atrás, la ruta clásica de la eliminación gaussiana.

¿Por qué mi sistema muestra «sin solución única»?

Ese mensaje aparece cuando el determinante es cero, lo que significa que una ecuación es combinación lineal de las otras. La eliminación produce entonces una fila de ceros en las columnas de coeficientes. Según las constantes, el sistema tiene infinitas soluciones o ninguna. Solo existe solución única cuando los tres pivotes son distintos de cero.

¿Por qué se intercambian filas durante la eliminación?

Si el pivote por el que hay que dividir es cero, el orden natural de eliminación se rompe incluso en un sistema con solución única. Intercambiar la fila afectada con otra de abajo (pivoteo parcial) coloca una entrada distinta de cero en la diagonal para poder continuar. El software numérico también intercambia filas para elegir el pivote más grande disponible, lo que mantiene pequeños los errores de redondeo.