Última actualización: 2026-07-02

Los focos de una elipse

Una elipse en posición estándar se describe mediante

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

donde $a$ es el semieje en la dirección x y $b$ el semieje en la dirección y. Toda elipse tiene dos puntos interiores especiales, sus focos. Son lo que hace que una elipse sea una elipse: para cualquier punto de la curva, la suma de las distancias a los dos focos es constante. Si tensas un lazo de hilo alrededor de dos alfileres y lo recorres con un lápiz manteniéndolo tirante, el lápiz dibuja una elipse cuyos focos son los alfileres.

Esta herramienta toma $a$ y $b$ y devuelve la distancia focal, los focos, la excentricidad, los vértices y las longitudes de los ejes mayor y menor.

Semieje mayor y semieje menor

El más largo de los dos ejes es el eje mayor; el más corto, el eje menor. La mitad de cada uno es un semieje. Para que las fórmulas no dependan de la orientación, llamamos $A$ al semieje mayor y $B$ al menor:

$A = \max(a, b) \qquad B = \min(a, b)$

Los focos siempre están sobre el eje mayor. Si $a > b$ el eje mayor es horizontal; si $b > a$ es vertical.

Distancia focal

La distancia del centro a cada foco, $c$, proviene de los semiejes:

$c = \sqrt{A^2 - B^2}$

Como $A \ge B$, la cantidad bajo la raíz nunca es negativa. En una elipse horizontal los focos están en $(\pm c, 0)$; en una vertical, en $(0, \pm c)$.

Excentricidad

La excentricidad mide cuánto se aparta la elipse de un círculo:

$e = \frac{c}{A}$

Siempre cumple $0 \le e < 1$. Cuando $a = b$ los dos semiejes son iguales, $c = 0$ y $e = 0$: la elipse es un círculo. A medida que un eje crece respecto al otro, $e$ se acerca a $1$ y la elipse se vuelve larga y estrecha.

Vértices y longitudes de los ejes

Los vértices son los extremos del eje mayor, a una distancia $A$ del centro: $(\pm A, 0)$ en una elipse horizontal o $(0, \pm A)$ en una vertical. Los extremos del eje menor son los covértices. Las longitudes completas de los ejes son

$\text{eje mayor} = 2A \qquad \text{eje menor} = 2B$

Ejemplo resuelto

Problema: Halla los focos, la excentricidad y las longitudes de los ejes de $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.

Paso 1 — leer los semiejes: $a^2 = 25$, así que $a = 5$, y $b^2 = 9$, así que $b = 3$. Como $a > b$, el eje mayor es horizontal con $A = 5$ y $B = 3$.

Paso 2 — distancia focal:

$c = \sqrt{A^2 - B^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

Paso 3 — focos: sobre el eje mayor horizontal, en $(\pm 4, 0)$, es decir $F_1 = (-4, 0)$ y $F_2 = (4, 0)$.

Paso 4 — excentricidad:

$e = \frac{c}{A} = \frac{4}{5} = 0{,}8$

Paso 5 — vértices y ejes: vértices en $(\pm 5, 0)$; eje mayor $2A = 10$, eje menor $2B = 6$.

Así, esta elipse tiene focos $(-4, 0)$ y $(4, 0)$, excentricidad $0{,}8$ y ejes de longitud $10$ y $6$.

Elipses verticales

Cuando $b > a$ la elipse es más alta que ancha, por lo que el eje mayor es vertical. Los papeles simplemente se intercambian: $A = b$, $B = a$, y los focos pasan al eje y en $(0, \pm c)$. Por ejemplo, $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ tiene $A = 5$ y $B = 3$, la misma $c = 4$ de antes, pero focos en $(0, -4)$ y $(0, 4)$. La herramienta elige la orientación automáticamente según cuál semieje sea mayor.

Por qué la suma de distancias es constante

La propiedad definitoria $r_1 + r_2 = 2A$ se relaciona directamente con $c$. En un vértice del eje mayor, un radio focal es $A + c$ y el otro $A - c$, y su suma es $2A$. En un covértice los dos radios son iguales por simetría, cada uno desde un foco a una distancia $\sqrt{B^2 + c^2}$; igualarla a $A$ recupera $A^2 = B^2 + c^2$, que se reordena como $c = \sqrt{A^2 - B^2}$. Esa única relación enlaza los focos, los ejes y la excentricidad.