Última actualización: 2026-05-20

Probabilidad condicional y teorema de Bayes

La probabilidad condicional responde a la pregunta: «dado que sabemos que el evento B ha ocurrido, ¿qué tan probable es A?». Se escribe P(A|B) y restringe el espacio muestral de todos los resultados posibles a solo aquellos en los que B es verdadero, preguntando luego qué fracción de esos resultados involucra también a A. Esta calculadora recibe tres datos — la probabilidad a priori P(A), la verosimilitud P(B|A) y la tasa de falsos positivos P(B|¬A) — y calcula la probabilidad a posteriori P(A|B) mediante el teorema de Bayes, junto con la probabilidad conjunta P(A∩B) y la probabilidad total P(B).

El teorema de Bayes paso a paso

El teorema de Bayes conecta la probabilidad a posteriori con la probabilidad a priori a través de dos componentes de la evidencia:

Paso 1 — Probabilidad conjunta

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Esta es la probabilidad de que A sea verdadero y de que aparezca la evidencia B al mismo tiempo.

Paso 2 — Probabilidad total de B

$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + (1 - P(A)) \cdot P(B|\lnot A)$

B puede ocurrir por dos vías: cuando A es verdadero (ponderado por la probabilidad previa) y cuando A es falso (ponderado por la tasa de falsos positivos). Al sumar ambas vías se obtiene la probabilidad global de observar B.

Paso 3 — Probabilidad a posteriori mediante el teorema de Bayes

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + (1-P(A)) \cdot P(B|\lnot A)}$

La probabilidad a posteriori es la fracción de los «eventos B» que también corresponden a A.

Por qué funciona la fórmula

La intuición es sencilla: entre todas las ocasiones en que B ocurre, algunas son verdaderos positivos (A era verdadero y produjo B) y otras son falsos positivos (A era falso pero B apareció igualmente). El teorema de Bayes contabiliza ambos grupos con precisión. Si el grupo de falsos positivos es grande — ya sea porque P(B|¬A) es alta o porque ¬A es muy común — diluye los verdaderos positivos y la probabilidad a posteriori disminuye.

Ejemplo: diagnóstico médico

Una enfermedad afecta al 1 % de la población. Una prueba diagnóstica tiene una sensibilidad del 99 % (P(B|A) = 0,99) y una tasa de falsos positivos del 5 % (P(B|¬A) = 0,05). Se obtiene un resultado positivo. ¿Cuál es la probabilidad real de estar enfermo?

Paso 1: P(A∩B) = 0,01 × 0,99 = 0,0099

Paso 2: P(B) = 0,01 × 0,99 + 0,99 × 0,05 = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594

Paso 3: P(A|B) = 0,0099 / 0,0594 ≈ 16,7 %

A pesar de que la prueba tiene una sensibilidad del 99 %, un resultado positivo implica solo una probabilidad de aproximadamente 1 entre 6 de estar enfermo. El 99 % sano de la población genera muchos más falsos positivos (≈5 %) que los verdaderos positivos generados por el 1 % enfermo (≈1 %), ahogando la señal. Este resultado contraintuitivo explica por qué la prueba confirmatoria es una práctica estándar en medicina.

La falacia de la tasa base

La falacia de la tasa base es el error de ignorar la probabilidad previa al evaluar una evidencia. En el ejemplo anterior, fijarse únicamente en la precisión del 99 % de la prueba y concluir que la enfermedad es casi segura pasa por alto el dato fundamental: la enfermedad es muy poco frecuente. Cuanto más raro es el evento, menor debe ser la tasa de falsos positivos antes de que un resultado positivo sea realmente indicativo. La fórmula captura exactamente este equilibrio: al reducir P(A) en la calculadora, la probabilidad a posteriori disminuye aunque la precisión de la prueba no varíe.

Independencia: cuando la evidencia no aporta nada

Si P(B|A) es igual a P(B|¬A), la evidencia B es estadísticamente independiente de A: observar B no proporciona ninguna información sobre si A ocurrió. En ese caso la probabilidad total P(B) es igual al valor común de ambas verosimilitudes y el teorema de Bayes se simplifica a P(A|B) = P(A). Con P(B|A) = P(B|¬A) = 50 %, la probabilidad a posteriori coincide con la probabilidad previa independientemente del valor de P(A).