Generado el: 13 de junio de 2026, 18:01

Distribución Geométrica

Datos de entrada

Probabilidad de éxito0,3
Número de ensayo3

Visualización

Valor de la función de masa 0

Generado con OneCalc · https://onecalc.app/es/math/geometric-distribution

Matemáticas

Distribución Geométrica

Calcula la probabilidad exacta P(X = k) y la acumulada P(X ≤ k) de la distribución geométrica, con la media y varianza, dada la probabilidad de éxito p.

Datos de entrada

Parámetros

0 – 1
≥ 1

Resultados

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Detalles

Probabilidades

\begin{aligned} P(X=k) &= (1-p)^{k-1} \cdot p \\ &= (1-0,3)^{ 3-1 } \cdot 0,3 \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X \leq k) &= 1-(1-p)^{k} \\ &= 1-(1-0,3)^{ 3 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{p} \\ &= \dfrac{1}{ 0,3 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{1-p}{p^2} \\ &= \dfrac{1-0,3}{ 0,3^2 } \\ &= ? \end{aligned}

Distribución

Valor de la función de masa 0

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La distribución geométrica es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de ensayos de Bernoulli independientes necesarios para obtener el primer éxito. Cada ensayo es independiente de los demás y tiene la misma probabilidad de éxito p. Esta distribución aparece con frecuencia en teoría de colas, control de calidad, análisis de fiabilidad y modelización de procesos repetitivos con un resultado binario.

Función de masa de probabilidad y función de distribución

Esta calculadora emplea el convenio ensayos hasta el primer éxito: X representa el número del ensayo en que se obtiene el primer éxito, de modo que X puede tomar los valores 1, 2, 3, … La función de masa de probabilidad (f.m.p.) y la función de distribución acumulada son:

P(X=k)=(1−p)k−1⋅p,k=1,2,3,…P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots P(X≤k)=1−(1−p)kP(X \leq k) = 1 - (1-p)^k

La media y la varianza de X bajo este convenio son:

μ=1p,σ2=1−pp2\mu = \frac{1}{p}, \qquad \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2}

Existe un convenio alternativo, frecuente en textos de combinatoria, que define X como el número de fracasos antes del primer éxito (X ≥ 0). En ese caso, la f.m.p. es P(X = k) = (1−p)^k · p y la media es (1−p)/p. Esta calculadora no utiliza dicho convenio.

Ejemplo resuelto

Un inspector de calidad examina piezas de una línea de producción. La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es p = 0,15. Se desea conocer la probabilidad de que la primera pieza defectuosa se encuentre exactamente en el quinto examen.

Con p = 0,15 y k = 5:

P(X=5)=(1−0,15)5−1×0,15=0,854×0,15≈0,5220×0,15≈0,0783P(X = 5) = (1 - 0{,}15)^{5-1} \times 0{,}15 = 0{,}85^4 \times 0{,}15 \approx 0{,}5220 \times 0{,}15 \approx 0{,}0783

La probabilidad de encontrar la primera pieza defectuosa en la quinta inspección es aproximadamente el 7,8 %. La probabilidad acumulada de encontrarla en las cinco primeras inspecciones es:

P(X≤5)=1−0,855≈1−0,4437=0,5563P(X \leq 5) = 1 - 0{,}85^5 \approx 1 - 0{,}4437 = 0{,}5563

Es decir, hay un 55,6 % de probabilidad de que la primera pieza defectuosa aparezca en las cinco primeras inspecciones. El número esperado de piezas a examinar es μ = 1/0,15 ≈ 6,67.

Fundamento de la fórmula

Para que el primer éxito ocurra exactamente en el ensayo k deben cumplirse dos condiciones simultáneas:

  1. Los ensayos 1 a k−1 deben fracasar. Cada uno fracasa con probabilidad 1−p y los ensayos son independientes, por lo que la probabilidad de k−1 fracasos consecutivos es (1−p)^(k−1).
  2. El ensayo k debe tener éxito, con probabilidad p.

Al multiplicar ambas probabilidades independientes se obtiene (1−p)^(k−1) · p.

La función de distribución acumulada se deduce por el método del complementario: P(X ≤ k) falla únicamente si los k ensayos fracasan, con probabilidad (1−p)^k. Por tanto, P(X ≤ k) = 1 − (1−p)^k.

Propiedad de ausencia de memoria

La distribución geométrica es la única distribución discreta que posee la propiedad de ausencia de memoria: dado que el primer éxito no ha ocurrido en los primeros m ensayos, el número de ensayos adicionales necesarios sigue exactamente la misma distribución geométrica. Formalmente:

P(X>m+n∣X>m)=P(X>n)P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)

Esta propiedad simplifica notablemente el análisis en teoría de colas y en contrastes secuenciales.

Relación con otras distribuciones

La distribución geométrica es un caso particular de la distribución binomial negativa con número de éxitos requeridos r = 1. De forma más general, la suma de r variables aleatorias geométricas independientes sigue una distribución binomial negativa, que modela el número de ensayos necesarios para obtener r éxitos.

Cuando p es pequeño y el número de ensayos n es grande, el número de éxitos en n ensayos geométricos se aproxima a una distribución de Poisson. Para valores de p próximos a 1, la distribución se concentra en k = 1 y presenta una asimetría positiva marcada.

Aplicaciones

  • Control de calidad e inspección: número de unidades examinadas hasta localizar la primera unidad defectuosa.
  • Telecomunicaciones y redes: número de retransmisiones necesarias hasta que un paquete se recibe sin errores.
  • Ensayos clínicos: número de pacientes evaluados hasta encontrar el primero que cumple los criterios de inclusión bajo una probabilidad de elegibilidad fija.
  • Análisis de fiabilidad: modelización del número de ciclos de operación hasta el primer fallo en sistemas con tasa de fallo constante.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es la distribución geométrica?

La distribución geométrica es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de ensayos de Bernoulli independientes necesarios para obtener el primer éxito. Cada ensayo tiene la misma probabilidad p de éxito y es independiente de los demás. La distribución posee la propiedad de ausencia de memoria: el número de ensayos adicionales necesarios para alcanzar el éxito no depende de cuántos fracasos hayan ocurrido previamente.

¿Qué convenio utiliza esta calculadora?

Esta calculadora emplea el convenio «ensayos hasta el primer éxito»: X es el número del ensayo en que se obtiene el primer éxito, por lo que X ≥ 1. Con este convenio, P(X = k) = (1−p)^(k−1) · p, y la media es 1/p. Existe un convenio alternativo que define X como el número de fracasos antes del primer éxito (X ≥ 0), para el cual P(X = k) = (1−p)^k · p y la media es (1−p)/p. Los dos convenios difieren en una unidad en el índice.

¿Cuántos ensayos se necesitan en promedio?

El número esperado de ensayos es μ = 1/p. Para una probabilidad de éxito de p = 0,25, la media es 4 ensayos; para p = 0,1, la media es 10 ensayos. La desviación típica es σ = √((1−p)/p²), de modo que para p = 0,25 se obtiene σ = √12 ≈ 3,46, lo que refleja una variabilidad considerable. La distribución presenta asimetría positiva: la mayoría de las secuencias terminan en pocos ensayos, pero las secuencias largas poco frecuentes elevan la media.

¿Qué relación existe entre la distribución geométrica y la binomial negativa?

La distribución geométrica es un caso particular de la distribución binomial negativa con el número de éxitos requeridos igual a r = 1. La binomial negativa con r = 1 da P(X = k) = (1−p)^(k−1) · p, que coincide exactamente con la función de masa de la distribución geométrica. La binomial negativa generaliza este resultado al número de ensayos necesarios para alcanzar r éxitos, lo que resulta útil cuando se requiere más de un éxito.

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