Última actualización: 2026-05-22

El factorial

El factorial de un entero no negativo $n$, escrito $n!$, es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta $n$:

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$

Algunos valores útiles para recordar:

n	n!
0	1 (por definición)
1	1
5	120
10	3.628.800
20	2.432.902.008.176.640.000

La convención 0! = 1

$0! = 1$ se deduce de la fórmula recursiva $n! = n \times (n-1)!$: sustituyendo $n = 1$ se obtiene $1! = 1 \times 0!$, lo que obliga a que $0! = 1$. Conceptualmente, existe exactamente una forma de ordenar cero objetos: no hacer nada. Esta convención garantiza que las fórmulas de permutaciones y combinaciones sean correctas en los casos extremos.

Crecimiento del factorial

Los factoriales crecen más rápido que cualquier función exponencial. Para $n = 13$ se supera los 6.000 millones ($13! = 6{.}227{.}020{.}800$), y para $n = 20$ el resultado tiene 19 cifras. Por eso esta calculadora está limitada a $n \leq 20$.

La aproximación de Stirling da una buena estimación para valores grandes de $n$:

$$n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$

Aplicaciones del factorial

Contar ordenaciones. El número de formas de ordenar $n$ objetos distintos en fila es exactamente $n!$. Cinco libros se pueden colocar en una estantería de $5! = 120$ maneras diferentes.

Permutaciones y combinaciones. Ambas fórmulas se construyen a partir de factoriales:

$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \qquad C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

Probabilidad. Los factoriales aparecen en la distribución binomial, la distribución de Poisson y siempre que se calculen probabilidades discretas sobre resultados ordenados.

Cálculo. Las series de Taylor usan factoriales en el denominador para controlar el crecimiento de los términos sucesivos. La serie exponencial es $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$.

Uso de la calculadora

Resultados enteros exactos. Para $n \leq 20$, esta calculadora devuelve el valor exacto sin redondeo.

Permutaciones o combinaciones. La Calculadora de permutaciones — P(n, r) calcula $P(n, r)$ y la Calculadora de combinaciones — C(n, r) calcula $C(n, r)$ directamente, sin necesidad de calcular factoriales por separado.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es el factorial de un número?

El factorial de un entero no negativo n, escrito n!, es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n. Por ejemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por convenio, 0! = 1. Los factoriales crecen muy rápido: 20! supera los 2,4 × 10¹⁸.

¿Por qué 0! vale 1?

0! = 1 se deduce de la fórmula recursiva n! = n × (n−1)!: sustituyendo n = 1 se obtiene 1! = 1 × 0!, lo que exige 0! = 1. Conceptualmente, solo hay una forma de ordenar cero objetos: no hacer nada. Esta convención garantiza que las fórmulas de permutaciones y combinaciones funcionen correctamente en los casos extremos.

¿Para qué se usa el factorial en matemáticas?

Los factoriales aparecen en combinatoria (permutaciones y combinaciones), en probabilidad (coeficientes binomiales), en cálculo (series de Taylor como eˣ = Σ xⁿ/n!) y en teoría de números. Siempre que se cuente el número de formas de ordenar n objetos distintos, hay un factorial de por medio.