Resolver sistema de ecuaciones 2×2 — Regla de Cramer

Última actualización: 2026-05-19

Sistema de ecuaciones lineales 2×2

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma:

$$a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2$$

donde $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$ son los coeficientes de las incógnitas y $c_1$, $c_2$ son los términos independientes. Resolver el sistema consiste en encontrar los valores de $x$ e $y$ que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente, o bien determinar que no existe tal par de valores.

La regla de Cramer

El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes:

$D = a_1 b_2 - a_2 b_1$

Cuando D ≠ 0, la solución única del sistema es:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

Cada numerador es el determinante de la matriz que resulta de sustituir una columna de coeficientes por el vector de términos independientes. Matemáticamente, esto corresponde a desplegar la fórmula $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ componente a componente.

Interpretación geométrica

Cada ecuación $ax + by = c$ representa una recta en el plano xy. Resolver el sistema equivale a encontrar el punto de intersección de ambas rectas.

• D ≠ 0 (sistema compatible determinado): las rectas se cortan en un único punto. La matriz de coeficientes es invertible.
• D = 0 y numeradores nulos (sistema compatible indeterminado): las rectas son coincidentes — una ecuación es múltiplo de la otra. Todos los puntos de la recta son solución.
• D = 0 y algún numerador distinto de cero (sistema incompatible): las rectas son paralelas y no se cortan. No existe ningún par (x, y) que satisfaga ambas ecuaciones.

Ejemplo resuelto

Resolvemos el sistema predeterminado:

$2x + 3y = 8 \quad \text{y} \quad x - y = 1$

Paso 1 — Calcular el determinante:

$D = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$

Como D ≠ 0, el sistema tiene solución única.

Paso 2 — Calcular x:

$x = \frac{(8)(-1) - (1)(3)}{-5} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} = 2{,}2$

Paso 3 — Calcular y:

$y = \frac{(2)(1) - (1)(8)}{-5} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} = 1{,}2$

Comprobación:

$2 \cdot 2{,}2 + 3 \cdot 1{,}2 = 4{,}4 + 3{,}6 = 8 \checkmark \quad \text{y} \quad 2{,}2 - 1{,}2 = 1 \checkmark$

Cuando el determinante es cero

Si D = 0, las dos filas de la matriz de coeficientes son proporcionales: $[a_1, b_1] = k\,[a_2, b_2]$. La clasificación del sistema depende entonces del término independiente:

• Si $c_1 = k\,c_2$, los dos numeradores de Cramer son nulos → sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones).
• Si $c_1 \neq k\,c_2$, al menos un numerador es distinto de cero → sistema incompatible (sin solución).

En la práctica basta con calcular los numeradores $c_1 b_2 - c_2 b_1$ y $a_1 c_2 - a_2 c_1$: si ambos son cero junto a D = 0, el sistema es indeterminado; en caso contrario, es incompatible.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué significa que el determinante sea cero?

El determinante D = a₁b₂ − a₂b₁ mide si la matriz de coeficientes es invertible. Si D ≠ 0, las dos rectas se cruzan en un punto único y el sistema es compatible determinado. Si D = 0, las rectas son paralelas o coincidentes: el sistema es incompatible (sin solución) o compatible indeterminado (infinitas soluciones).

¿Cuándo un sistema tiene infinitas soluciones?

Cuando ambas ecuaciones representan la misma recta, es decir, una es múltiplo de la otra. En ese caso el determinante y ambos numeradores de Cramer son cero. Todos los puntos de esa recta satisfacen el sistema simultáneamente.

¿Es mejor usar la regla de Cramer o el método de sustitución?

El método de sustitución resulta cómodo cuando las ecuaciones son sencillas. La regla de Cramer ofrece una fórmula cerrada directa, lo que resulta ventajoso cuando se trabaja con la misma matriz de coeficientes para varios vectores independientes, o cuando se necesita el resultado en términos de los coeficientes como variables.

¿Por qué D = 0 no siempre significa que no hay solución?

D = 0 solo indica que la matriz de coeficientes es singular: las dos filas son proporcionales. Si el término independiente sigue la misma proporción, el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). Únicamente cuando al menos un numerador de Cramer es distinto de cero el sistema resulta incompatible.