最終更新: 2026-06-06

四角錐台とは

四角錐台（切頂角錐、英: pyramid frustum）は、角錐の頂部を底面に平行な平面で切り取ったときに残る立体です。上下 2 つの平行な多角形の面（底面積 A₁ の下底面と面積 A₂ の上底面）が台形状の側面でつながれており、両底面間の垂直距離を高さ h と定義します。

円錐台の底面が必ず円であるのとは異なり、四角錐台の底面は正方形・長方形・三角形・六角形など任意の多角形を取ることができます。ただし上下の底面は相似（同じ形で縮尺のみ異なる）でなければなりません。

体積の公式

四角錐台の体積はプリズマトイダル公式で求められます。

$V = \frac{h}{3}\!\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)$

ここで A₁ は下底面積、A₂ は上底面積、h は両底面間の垂直高さです。

括弧内の 3 項 — A₁、A₂、√(A₁A₂) — はそれぞれ下底面積、上底面積、2 つの底面積の幾何平均を表しており、いずれも h/3 の重みで加算されます。

公式の導出

高さ H の完全な角錐（下底面積 A₁）の頂部を切り取り、高さ H − h・底面積 A₂ の小角錐を除去することを考えます。相似な立体では面積が相似比の 2 乗に比例するため、

$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{H - h}{H}\right)^2$

が成り立ちます。これを H について解いて完全な角錐と小角錐の体積差に代入し、H を消去して整理すると、3 項形式が正確に導かれます。幾何平均 √(A₁A₂) は、角錐を延長したときの中間断面（半高さ位置）の面積として自然に現れます。

特殊ケース

2 つの退化した場合は計算の確認に役立ちます。

完全な角錐（A₂ = 0）： 公式は V = A₁·h/3 に帰着し、通常の角錐の体積公式と一致します。幾何平均の項は 0 になって消えます。

角柱（A₁ = A₂ = A）： 公式は V = (h/3)(A + A + A) = A·h となり、角柱の体積公式と一致します。上下の底面積が等しい錐台は角柱にほかなりません。

計算例

プランターの形状が、底面 30 cm × 30 cm の正方形、上面 20 cm × 20 cm の正方形、高さ 25 cm の四角錐台であるとします。

• A₁ = 30 × 30 = 900 cm²
• A₂ = 20 × 20 = 400 cm²
• √(A₁·A₂) = √(900 × 400) = √360,000 = 600 cm²
• V = (25/3)(900 + 400 + 600) = (25/3) × 1,900 ≈ 15,833 cm³ ≈ 15.8 リットル

このプランターには約 15.8 リットルの培養土が入ります。

面積を直接入力する意義

この計算機では辺の長さではなく底面積を直接入力します。これにより、底面の形状によらず同一の公式を適用できます。正方形の底面なら A = s²（s は辺長）、正六角形の底面なら A = (3√3/2)a²（a は辺長）として入力します。六角形錐台や三角形錐台でも、底面積さえ求めれば形状ごとの専用公式は不要です。

関連計算機

• 四角錐の体積・表面積の計算 — 完全な角錐の体積・表面積・斜辺
• 円錐台（切頭円錐）の計算 — 円錐台の体積・表面積
• 直方体の体積・表面積の計算 — 直方体の体積・表面積（A₁ = A₂ の特殊ケース）